Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29863 / 29589
↖ ↑ ↗
← S 80.909352°
E148.084717°		 ← 193.02 m → S 80.909352°
E148.095703°		 →
↑
193.04 m
↓
↑
193.04 m
↓
S 80.911088°
E148.084717°		 ← 192.98 m →
37 256 m²		 S 80.911088°
E148.095703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911361694335938 y=0.902999877929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911361694335938 × 215)
    floor (0.911361694335938 × 32768)
    floor (29863.5)     		tx = 29863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902999877929688 × 215)
    floor (0.902999877929688 × 32768)
    floor (29589.5)     		ty = 29589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29863 / 29589 ti = "15/29863/29589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29863/29589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29863 ÷ 215
    29863 ÷ 32768     		x = 0.911346435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29589 ÷ 215
    29589 ÷ 32768     		y = 0.902984619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911346435546875 × 2 - 1) × π
    0.82269287109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58456588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902984619140625 × 2 - 1) × π
    -0.80596923828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53202703793137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58456588} λ = 2.58456588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53202703793137))-π/2
    2×atan(0.0794977119744691)-π/2
    2×0.0793308720002648-π/2
    0.15866174400053-1.57079632675     		φ = -1.41213458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58456588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.084717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41213458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.909352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29863 KachelY 29589 2.58456588 -1.41213458 148.084717 -80.909352
    Oben rechts KachelX + 1 29864 KachelY 29589 2.58475763 -1.41213458 148.095703 -80.909352
    Unten links KachelX 29863 KachelY + 1 29590 2.58456588 -1.41216488 148.084717 -80.911088
    Unten rechts KachelX + 1 29864 KachelY + 1 29590 2.58475763 -1.41216488 148.095703 -80.911088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41213458--1.41216488) × R
    3.02999999999276e-05 × 6371000     		dl = 193.041299999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41213458--1.41216488) × R
    3.02999999999276e-05 × 6371000     		dr = 193.041299999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58456588-2.58475763) × cos(-1.41213458) × R
    0.000191749999999935 × 0.157996904269261 × 6371000     		do = 193.015219633757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58456588-2.58475763) × cos(-1.41216488) × R
    0.000191749999999935 × 0.157966984776634 × 6371000     		du = 192.978668807224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41213458)-sin(-1.41216488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157996904269261-0.157966984776634)×R²
    abs(2.58475763-2.58456588)×2.99194926269286e-05×R²
    0.000191749999999935×2.99194926269286e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.99194926269286e-05×40589641000000     		ar = 37256.3810109607m²