Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29862 / 21803
↖ ↑ ↗
← N 75.987525°
W 97.981568°		 ← 73.95 m → N 75.987525°
W 97.978821°		 →
↑
73.97 m
↓
↑
73.97 m
↓
N 75.986860°
W 97.981568°		 ← 73.96 m →
5 470 m²		 N 75.986860°
W 97.978821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227832794189453 y=0.166347503662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227832794189453 × 217)
    floor (0.227832794189453 × 131072)
    floor (29862.5)     		tx = 29862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166347503662109 × 217)
    floor (0.166347503662109 × 131072)
    floor (21803.5)     		ty = 21803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29862 / 21803 ti = "17/29862/21803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29862/21803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29862 ÷ 217
    29862 ÷ 131072     		x = 0.227828979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21803 ÷ 217
    21803 ÷ 131072     		y = 0.166343688964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227828979492188 × 2 - 1) × π
    -0.544342041015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.71010096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166343688964844 × 2 - 1) × π
    0.667312622070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.09642443108392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71010096} λ = -1.71010096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09642443108392))-π/2
    2×atan(8.13702334809227)-π/2
    2×1.44851441934231-π/2
    2.89702883868462-1.57079632675     		φ = 1.32623251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71010096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.981568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32623251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.987525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29862 KachelY 21803 -1.71010096 1.32623251 -97.981568 75.987525
    Oben rechts KachelX + 1 29863 KachelY 21803 -1.71005302 1.32623251 -97.978821 75.987525
    Unten links KachelX 29862 KachelY + 1 21804 -1.71010096 1.32622090 -97.981568 75.986860
    Unten rechts KachelX + 1 29863 KachelY + 1 21804 -1.71005302 1.32622090 -97.978821 75.986860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32623251-1.32622090) × R
    1.16100000000507e-05 × 6371000     		dl = 73.9673100003233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32623251-1.32622090) × R
    1.16100000000507e-05 × 6371000     		dr = 73.9673100003233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71010096--1.71005302) × cos(1.32623251) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.242133144120321 × 6371000     		do = 73.9536947214272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71010096--1.71005302) × cos(1.32622090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.2421444086256 × 6371000     		du = 73.9571351912877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32623251)-sin(1.32622090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242133144120321-0.2421444086256)×R²
    abs(-1.71005302--1.71010096)×1.12645052787463e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12645052787463e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12645052787463e-05×40589641000000     		ar = 5470.28310431822m²