Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29862 / 13742
↖ ↑ ↗
← N 71.667119°
W 15.963135°		 ← 192.12 m → N 71.667119°
W 15.957642°		 →
↑
192.15 m
↓
↑
192.15 m
↓
N 71.665391°
W 15.963135°		 ← 192.13 m →
36 917 m²		 N 71.665391°
W 15.957642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455665588378906 y=0.209693908691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455665588378906 × 216)
    floor (0.455665588378906 × 65536)
    floor (29862.5)     		tx = 29862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209693908691406 × 216)
    floor (0.209693908691406 × 65536)
    floor (13742.5)     		ty = 13742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29862 / 13742 ti = "16/29862/13742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29862/13742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29862 ÷ 216
    29862 ÷ 65536     		x = 0.455657958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13742 ÷ 216
    13742 ÷ 65536     		y = 0.209686279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455657958984375 × 2 - 1) × π
    -0.08868408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27860926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209686279296875 × 2 - 1) × π
    0.58062744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.82409490434238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27860926} λ = -0.27860926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82409490434238))-π/2
    2×atan(6.19718343616071)-π/2
    2×1.41081175811269-π/2
    2.82162351622539-1.57079632675     		φ = 1.25082719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27860926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.963135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25082719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.667119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29862 KachelY 13742 -0.27860926 1.25082719 -15.963135 71.667119
    Oben rechts KachelX + 1 29863 KachelY 13742 -0.27851339 1.25082719 -15.957642 71.667119
    Unten links KachelX 29862 KachelY + 1 13743 -0.27860926 1.25079703 -15.963135 71.665391
    Unten rechts KachelX + 1 29863 KachelY + 1 13743 -0.27851339 1.25079703 -15.957642 71.665391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25082719-1.25079703) × R
    3.01600000001123e-05 × 6371000     		dl = 192.149360000716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25082719-1.25079703) × R
    3.01600000001123e-05 × 6371000     		dr = 192.149360000716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27860926--0.27851339) × cos(1.25082719) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.314537264018904 × 6371000     		do = 192.115514072004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27860926--0.27851339) × cos(1.25079703) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.31456589310885 × 6371000     		du = 192.133000370008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25082719)-sin(1.25079703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314537264018904-0.31456589310885)×R²
    abs(-0.27851339--0.27860926)×2.86290899452202e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.86290899452202e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.86290899452202e-05×40589641000000     		ar = 36916.553068262m²