Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29862 / 13698
↖ ↑ ↗
← N 71.742990°
W 15.963135°		 ← 191.35 m → N 71.742990°
W 15.957642°		 →
↑
191.32 m
↓
↑
191.32 m
↓
N 71.741269°
W 15.963135°		 ← 191.37 m →
36 611 m²		 N 71.741269°
W 15.957642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455665588378906 y=0.209022521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455665588378906 × 216)
    floor (0.455665588378906 × 65536)
    floor (29862.5)     		tx = 29862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209022521972656 × 216)
    floor (0.209022521972656 × 65536)
    floor (13698.5)     		ty = 13698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29862 / 13698 ti = "16/29862/13698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29862/13698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29862 ÷ 216
    29862 ÷ 65536     		x = 0.455657958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13698 ÷ 216
    13698 ÷ 65536     		y = 0.209014892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455657958984375 × 2 - 1) × π
    -0.08868408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27860926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209014892578125 × 2 - 1) × π
    0.58197021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82831335150894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27860926} λ = -0.27860926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82831335150894))-π/2
    2×atan(6.22338114504341)-π/2
    2×1.41147386080783-π/2
    2.82294772161566-1.57079632675     		φ = 1.25215139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27860926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.963135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25215139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.742990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29862 KachelY 13698 -0.27860926 1.25215139 -15.963135 71.742990
    Oben rechts KachelX + 1 29863 KachelY 13698 -0.27851339 1.25215139 -15.957642 71.742990
    Unten links KachelX 29862 KachelY + 1 13699 -0.27860926 1.25212136 -15.963135 71.741269
    Unten rechts KachelX + 1 29863 KachelY + 1 13699 -0.27851339 1.25212136 -15.957642 71.741269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25215139-1.25212136) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dl = 191.321130000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25215139-1.25212136) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dr = 191.321130000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27860926--0.27851339) × cos(1.25215139) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313279998218804 × 6371000     		do = 191.347591497663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27860926--0.27851339) × cos(1.25212136) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313308516391486 × 6371000     		du = 191.36501004876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25215139)-sin(1.25212136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313279998218804-0.313308516391486)×R²
    abs(-0.27851339--0.27860926)×2.85181726827344e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.85181726827344e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.85181726827344e-05×40589641000000     		ar = 36610.5036993876m²