Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29862 / 13693
↖ ↑ ↗
← N 71.751593°
W 15.963135°		 ← 191.26 m → N 71.751593°
W 15.957642°		 →
↑
191.32 m
↓
↑
191.32 m
↓
N 71.749872°
W 15.963135°		 ← 191.28 m →
36 594 m²		 N 71.749872°
W 15.957642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455665588378906 y=0.208946228027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455665588378906 × 216)
    floor (0.455665588378906 × 65536)
    floor (29862.5)     		tx = 29862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208946228027344 × 216)
    floor (0.208946228027344 × 65536)
    floor (13693.5)     		ty = 13693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29862 / 13693 ti = "16/29862/13693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29862/13693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29862 ÷ 216
    29862 ÷ 65536     		x = 0.455657958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13693 ÷ 216
    13693 ÷ 65536     		y = 0.208938598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455657958984375 × 2 - 1) × π
    -0.08868408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27860926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208938598632812 × 2 - 1) × π
    0.582122802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82879272050514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27860926} λ = -0.27860926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82879272050514))-π/2
    2×atan(6.22636515617995)-π/2
    2×1.41154893207665-π/2
    2.82309786415329-1.57079632675     		φ = 1.25230154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27860926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.963135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25230154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.751593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29862 KachelY 13693 -0.27860926 1.25230154 -15.963135 71.751593
    Oben rechts KachelX + 1 29863 KachelY 13693 -0.27851339 1.25230154 -15.957642 71.751593
    Unten links KachelX 29862 KachelY + 1 13694 -0.27860926 1.25227151 -15.963135 71.749872
    Unten rechts KachelX + 1 29863 KachelY + 1 13694 -0.27851339 1.25227151 -15.957642 71.749872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25230154-1.25227151) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dl = 191.321130000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25230154-1.25227151) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dr = 191.321130000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27860926--0.27851339) × cos(1.25230154) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313137403118162 × 6371000     		do = 191.260496154129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27860926--0.27851339) × cos(1.25227151) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313165922703168 × 6371000     		du = 191.277915567856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25230154)-sin(1.25227151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313137403118162-0.313165922703168)×R²
    abs(-0.27851339--0.27860926)×2.85195850064923e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.85195850064923e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.85195850064923e-05×40589641000000     		ar = 36593.8406023622m²