Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29861 / 29689
↖ ↑ ↗
← S 81.081299°
E148.062744°		 ← 189.39 m → S 81.081299°
E148.073730°		 →
↑
189.35 m
↓
↑
189.35 m
↓
S 81.083002°
E148.062744°		 ← 189.36 m →
35 858 m²		 S 81.083002°
E148.073730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911300659179688 y=0.906051635742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911300659179688 × 215)
    floor (0.911300659179688 × 32768)
    floor (29861.5)     		tx = 29861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906051635742188 × 215)
    floor (0.906051635742188 × 32768)
    floor (29689.5)     		ty = 29689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29861 / 29689 ti = "15/29861/29689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29861/29689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29861 ÷ 215
    29861 ÷ 32768     		x = 0.911285400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29689 ÷ 215
    29689 ÷ 32768     		y = 0.906036376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911285400390625 × 2 - 1) × π
    0.82257080078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58418238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906036376953125 × 2 - 1) × π
    -0.81207275390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.55120179777939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58418238} λ = 2.58418238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55120179777939))-π/2
    2×atan(0.0779878839931341)-π/2
    2×0.0778303481871678-π/2
    0.155660696374336-1.57079632675     		φ = -1.41513563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58418238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.062744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41513563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.081299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29861 KachelY 29689 2.58418238 -1.41513563 148.062744 -81.081299
    Oben rechts KachelX + 1 29862 KachelY 29689 2.58437413 -1.41513563 148.073730 -81.081299
    Unten links KachelX 29861 KachelY + 1 29690 2.58418238 -1.41516535 148.062744 -81.083002
    Unten rechts KachelX + 1 29862 KachelY + 1 29690 2.58437413 -1.41516535 148.073730 -81.083002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41513563--1.41516535) × R
    2.97200000001219e-05 × 6371000     		dl = 189.346120000776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41513563--1.41516535) × R
    2.97200000001219e-05 × 6371000     		dr = 189.346120000776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58418238-2.58437413) × cos(-1.41513563) × R
    0.000191749999999935 × 0.155032841600336 × 6371000     		do = 189.394204337939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58418238-2.58437413) × cos(-1.41516535) × R
    0.000191749999999935 × 0.15500348086698 × 6371000     		du = 189.358336113662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41513563)-sin(-1.41516535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155032841600336-0.15500348086698)×R²
    abs(2.58437413-2.58418238)×2.93607333567425e-05×R²
    0.000191749999999935×2.93607333567425e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.93607333567425e-05×40589641000000     		ar = 35857.6619895046m²