Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29861 / 29620
↖ ↑ ↗
← S 80.963004°
E148.062744°		 ← 191.89 m → S 80.963004°
E148.073730°		 →
↑
191.89 m
↓
↑
191.89 m
↓
S 80.964730°
E148.062744°		 ← 191.85 m →
36 818 m²		 S 80.964730°
E148.073730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911300659179688 y=0.903945922851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911300659179688 × 215)
    floor (0.911300659179688 × 32768)
    floor (29861.5)     		tx = 29861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903945922851562 × 215)
    floor (0.903945922851562 × 32768)
    floor (29620.5)     		ty = 29620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29861 / 29620 ti = "15/29861/29620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29861/29620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29861 ÷ 215
    29861 ÷ 32768     		x = 0.911285400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29620 ÷ 215
    29620 ÷ 32768     		y = 0.9039306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911285400390625 × 2 - 1) × π
    0.82257080078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58418238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9039306640625 × 2 - 1) × π
    -0.807861328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53797121348425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58418238} λ = 2.58418238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53797121348425))-π/2
    2×atan(0.0790265652949871)-π/2
    2×0.0788626668219958-π/2
    0.157725333643992-1.57079632675     		φ = -1.41307099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58418238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.062744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41307099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.963004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29861 KachelY 29620 2.58418238 -1.41307099 148.062744 -80.963004
    Oben rechts KachelX + 1 29862 KachelY 29620 2.58437413 -1.41307099 148.073730 -80.963004
    Unten links KachelX 29861 KachelY + 1 29621 2.58418238 -1.41310111 148.062744 -80.964730
    Unten rechts KachelX + 1 29862 KachelY + 1 29621 2.58437413 -1.41310111 148.073730 -80.964730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41307099--1.41310111) × R
    3.01199999999113e-05 × 6371000     		dl = 191.894519999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41307099--1.41310111) × R
    3.01199999999113e-05 × 6371000     		dr = 191.894519999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58418238-2.58437413) × cos(-1.41307099) × R
    0.000191749999999935 × 0.157072186810768 × 6371000     		do = 191.885548491302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58418238-2.58437413) × cos(-1.41310111) × R
    0.000191749999999935 × 0.157042440615339 × 6371000     		du = 191.849209371428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41307099)-sin(-1.41310111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157072186810768-0.157042440615339)×R²
    abs(2.58437413-2.58418238)×2.97461954291145e-05×R²
    0.000191749999999935×2.97461954291145e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.97461954291145e-05×40589641000000     		ar = 36818.2985861822m²