Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29861 / 13699
↖ ↑ ↗
← N 71.741269°
W 15.968628°		 ← 191.37 m → N 71.741269°
W 15.963135°		 →
↑
191.38 m
↓
↑
191.38 m
↓
N 71.739548°
W 15.968628°		 ← 191.38 m →
36 626 m²		 N 71.739548°
W 15.963135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455650329589844 y=0.209037780761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455650329589844 × 216)
    floor (0.455650329589844 × 65536)
    floor (29861.5)     		tx = 29861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209037780761719 × 216)
    floor (0.209037780761719 × 65536)
    floor (13699.5)     		ty = 13699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29861 / 13699 ti = "16/29861/13699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29861/13699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29861 ÷ 216
    29861 ÷ 65536     		x = 0.455642700195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13699 ÷ 216
    13699 ÷ 65536     		y = 0.209030151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455642700195312 × 2 - 1) × π
    -0.088714599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27870513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209030151367188 × 2 - 1) × π
    0.581939697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8282174777097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27870513} λ = -0.27870513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8282174777097))-π/2
    2×atan(6.22278451444999)-π/2
    2×1.41145884245254-π/2
    2.82291768490508-1.57079632675     		φ = 1.25212136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27870513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.968628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25212136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.741269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29861 KachelY 13699 -0.27870513 1.25212136 -15.968628 71.741269
    Oben rechts KachelX + 1 29862 KachelY 13699 -0.27860926 1.25212136 -15.963135 71.741269
    Unten links KachelX 29861 KachelY + 1 13700 -0.27870513 1.25209132 -15.968628 71.739548
    Unten rechts KachelX + 1 29862 KachelY + 1 13700 -0.27860926 1.25209132 -15.963135 71.739548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25212136-1.25209132) × R
    3.00400000001755e-05 × 6371000     		dl = 191.384840001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25212136-1.25209132) × R
    3.00400000001755e-05 × 6371000     		dr = 191.384840001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27870513--0.27860926) × cos(1.25212136) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313308516391486 × 6371000     		do = 191.36501004876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27870513--0.27860926) × cos(1.25209132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313337043778047 × 6371000     		du = 191.382434227582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25212136)-sin(1.25209132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313308516391486-0.313337043778047)×R²
    abs(-0.27860926--0.27870513)×2.85273865608393e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.85273865608393e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.85273865608393e-05×40589641000000     		ar = 36626.0291947991m²