Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29860 / 29668
↖ ↑ ↗
← S 81.045460°
E148.051758°		 ← 190.14 m → S 81.045460°
E148.062744°		 →
↑
190.11 m
↓
↑
190.11 m
↓
S 81.047170°
E148.051758°		 ← 190.10 m →
36 144 m²		 S 81.047170°
E148.062744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911270141601562 y=0.905410766601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911270141601562 × 215)
    floor (0.911270141601562 × 32768)
    floor (29860.5)     		tx = 29860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905410766601562 × 215)
    floor (0.905410766601562 × 32768)
    floor (29668.5)     		ty = 29668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29860 / 29668 ti = "15/29860/29668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29860/29668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29860 ÷ 215
    29860 ÷ 32768     		x = 0.9112548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29668 ÷ 215
    29668 ÷ 32768     		y = 0.9053955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9112548828125 × 2 - 1) × π
    0.822509765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58399064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9053955078125 × 2 - 1) × π
    -0.810791015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5471750982113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58399064} λ = 2.58399064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5471750982113))-π/2
    2×atan(0.0783025508812609)-π/2
    2×0.0781431051675409-π/2
    0.156286210335082-1.57079632675     		φ = -1.41451012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58399064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.051758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41451012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.045460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29860 KachelY 29668 2.58399064 -1.41451012 148.051758 -81.045460
    Oben rechts KachelX + 1 29861 KachelY 29668 2.58418238 -1.41451012 148.062744 -81.045460
    Unten links KachelX 29860 KachelY + 1 29669 2.58399064 -1.41453996 148.051758 -81.047170
    Unten rechts KachelX + 1 29861 KachelY + 1 29669 2.58418238 -1.41453996 148.062744 -81.047170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41451012--1.41453996) × R
    2.98399999998367e-05 × 6371000     		dl = 190.110639998959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41451012--1.41453996) × R
    2.98399999998367e-05 × 6371000     		dr = 190.110639998959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58399064-2.58418238) × cos(-1.41451012) × R
    0.000191739999999996 × 0.155650758387442 × 6371000     		do = 190.139159228544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58399064-2.58418238) × cos(-1.41453996) × R
    0.000191739999999996 × 0.155621282003627 × 6371000     		du = 190.103151599069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41451012)-sin(-1.41453996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155650758387442-0.155621282003627)×R²
    abs(2.58418238-2.58399064)×2.94763838148138e-05×R²
    0.000191739999999996×2.94763838148138e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.94763838148138e-05×40589641000000     		ar = 36144.0545356227m²