Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29860 / 29588
↖ ↑ ↗
← S 80.907615°
E148.051758°		 ← 193.04 m → S 80.907615°
E148.062744°		 →
↑
193.04 m
↓
↑
193.04 m
↓
S 80.909352°
E148.051758°		 ← 193.01 m →
37 261 m²		 S 80.909352°
E148.062744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911270141601562 y=0.902969360351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911270141601562 × 215)
    floor (0.911270141601562 × 32768)
    floor (29860.5)     		tx = 29860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902969360351562 × 215)
    floor (0.902969360351562 × 32768)
    floor (29588.5)     		ty = 29588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29860 / 29588 ti = "15/29860/29588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29860/29588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29860 ÷ 215
    29860 ÷ 32768     		x = 0.9112548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29588 ÷ 215
    29588 ÷ 32768     		y = 0.9029541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9112548828125 × 2 - 1) × π
    0.822509765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58399064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.805908203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53183529033289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58399064} λ = 2.58399064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53183529033289))-π/2
    2×atan(0.0795129569313701)-π/2
    2×0.0793460211976014-π/2
    0.158692042395203-1.57079632675     		φ = -1.41210428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58399064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.051758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41210428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.907615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29860 KachelY 29588 2.58399064 -1.41210428 148.051758 -80.907615
    Oben rechts KachelX + 1 29861 KachelY 29588 2.58418238 -1.41210428 148.062744 -80.907615
    Unten links KachelX 29860 KachelY + 1 29589 2.58399064 -1.41213458 148.051758 -80.909352
    Unten rechts KachelX + 1 29861 KachelY + 1 29589 2.58418238 -1.41213458 148.062744 -80.909352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41210428--1.41213458) × R
    3.02999999999276e-05 × 6371000     		dl = 193.041299999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41210428--1.41213458) × R
    3.02999999999276e-05 × 6371000     		dr = 193.041299999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58399064-2.58418238) × cos(-1.41210428) × R
    0.000191739999999996 × 0.158026823616833 × 6371000     		do = 193.041702394213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58399064-2.58418238) × cos(-1.41213458) × R
    0.000191739999999996 × 0.157996904269261 × 6371000     		du = 193.005153651047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41210428)-sin(-1.41213458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158026823616833-0.157996904269261)×R²
    abs(2.58418238-2.58399064)×2.9919347571572e-05×R²
    0.000191739999999996×2.9919347571572e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.9919347571572e-05×40589641000000     		ar = 37261.4934790677m²