Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29859 / 42545
↖ ↑ ↗
← S 47.223299°
W 15.979614°		 ← 414.81 m → S 47.223299°
W 15.974121°		 →
↑
414.82 m
↓
↑
414.82 m
↓
S 47.227029°
W 15.979614°		 ← 414.78 m →
172 065 m²		 S 47.227029°
W 15.974121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455619812011719 y=0.649192810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455619812011719 × 216)
    floor (0.455619812011719 × 65536)
    floor (29859.5)     		tx = 29859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649192810058594 × 216)
    floor (0.649192810058594 × 65536)
    floor (42545.5)     		ty = 42545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29859 / 42545 ti = "16/29859/42545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29859/42545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29859 ÷ 216
    29859 ÷ 65536     		x = 0.455612182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42545 ÷ 216
    42545 ÷ 65536     		y = 0.649185180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455612182617188 × 2 - 1) × π
    -0.088775634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27889688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649185180664062 × 2 - 1) × π
    -0.298370361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.937358135170578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27889688} λ = -0.27889688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937358135170578))-π/2
    2×atan(0.39166118568307)-π/2
    2×0.373297138792026-π/2
    0.746594277584052-1.57079632675     		φ = -0.82420205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27889688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.979614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82420205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.223299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29859 KachelY 42545 -0.27889688 -0.82420205 -15.979614 -47.223299
    Oben rechts KachelX + 1 29860 KachelY 42545 -0.27880101 -0.82420205 -15.974121 -47.223299
    Unten links KachelX 29859 KachelY + 1 42546 -0.27889688 -0.82426716 -15.979614 -47.227029
    Unten rechts KachelX + 1 29860 KachelY + 1 42546 -0.27880101 -0.82426716 -15.974121 -47.227029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82420205--0.82426716) × R
    6.51099999999794e-05 × 6371000     		dl = 414.815809999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82420205--0.82426716) × R
    6.51099999999794e-05 × 6371000     		dr = 414.815809999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27889688--0.27880101) × cos(-0.82420205) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679142881937673 × 6371000     		do = 414.812166370075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27889688--0.27880101) × cos(-0.82426716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679095089361382 × 6371000     		du = 414.78297524898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82420205)-sin(-0.82426716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679142881937673-0.679095089361382)×R²
    abs(-0.27880101--0.27889688)×4.77925762907283e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77925762907283e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77925762907283e-05×40589641000000     		ar = 172064.590381937m²