Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29858 / 29682
↖ ↑ ↗
← S 81.069368°
E148.029785°		 ← 189.65 m → S 81.069368°
E148.040772°		 →
↑
189.66 m
↓
↑
189.66 m
↓
S 81.071074°
E148.029785°		 ← 189.61 m →
35 966 m²		 S 81.071074°
E148.040772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911209106445312 y=0.905838012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911209106445312 × 215)
    floor (0.911209106445312 × 32768)
    floor (29858.5)     		tx = 29858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905838012695312 × 215)
    floor (0.905838012695312 × 32768)
    floor (29682.5)     		ty = 29682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29858 / 29682 ti = "15/29858/29682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29858/29682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29858 ÷ 215
    29858 ÷ 32768     		x = 0.91119384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29682 ÷ 215
    29682 ÷ 32768     		y = 0.90582275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91119384765625 × 2 - 1) × π
    0.8223876953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58360714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90582275390625 × 2 - 1) × π
    -0.8116455078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54985956459003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58360714} λ = 2.58360714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54985956459003))-π/2
    2×atan(0.0780926322019328)-π/2
    2×0.0779344623115083-π/2
    0.155868924623017-1.57079632675     		φ = -1.41492740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58360714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.029785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41492740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.069368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29858 KachelY 29682 2.58360714 -1.41492740 148.029785 -81.069368
    Oben rechts KachelX + 1 29859 KachelY 29682 2.58379889 -1.41492740 148.040772 -81.069368
    Unten links KachelX 29858 KachelY + 1 29683 2.58360714 -1.41495717 148.029785 -81.071074
    Unten rechts KachelX + 1 29859 KachelY + 1 29683 2.58379889 -1.41495717 148.040772 -81.071074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41492740--1.41495717) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dl = 189.664670000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41492740--1.41495717) × R
    2.977000000004e-05 × 6371000     		dr = 189.664670000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58360714-2.58379889) × cos(-1.41492740) × R
    0.000191750000000379 × 0.155238550594775 × 6371000     		do = 189.645506520063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58360714-2.58379889) × cos(-1.41495717) × R
    0.000191750000000379 × 0.155209141427318 × 6371000     		du = 189.609579126788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41492740)-sin(-1.41495717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155238550594775-0.155209141427318)×R²
    abs(2.58379889-2.58360714)×2.94091674569175e-05×R²
    0.000191750000000379×2.94091674569175e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.94091674569175e-05×40589641000000     		ar = 35965.6453360268m²