Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29858 / 29654
↖ ↑ ↗
← S 81.021487°
E148.029785°		 ← 190.65 m → S 81.021487°
E148.040772°		 →
↑
190.62 m
↓
↑
190.62 m
↓
S 81.023202°
E148.029785°		 ← 190.62 m →
36 339 m²		 S 81.023202°
E148.040772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911209106445312 y=0.904983520507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911209106445312 × 215)
    floor (0.911209106445312 × 32768)
    floor (29858.5)     		tx = 29858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904983520507812 × 215)
    floor (0.904983520507812 × 32768)
    floor (29654.5)     		ty = 29654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29858 / 29654 ti = "15/29858/29654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29858/29654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29858 ÷ 215
    29858 ÷ 32768     		x = 0.91119384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29654 ÷ 215
    29654 ÷ 32768     		y = 0.90496826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91119384765625 × 2 - 1) × π
    0.8223876953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58360714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90496826171875 × 2 - 1) × π
    -0.8099365234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54449063183258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58360714} λ = 2.58360714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54449063183258))-π/2
    2×atan(0.078513033837278)-π/2
    2×0.0783523020261431-π/2
    0.156704604052286-1.57079632675     		φ = -1.41409172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58360714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.029785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41409172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.021487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29858 KachelY 29654 2.58360714 -1.41409172 148.029785 -81.021487
    Oben rechts KachelX + 1 29859 KachelY 29654 2.58379889 -1.41409172 148.040772 -81.021487
    Unten links KachelX 29858 KachelY + 1 29655 2.58360714 -1.41412164 148.029785 -81.023202
    Unten rechts KachelX + 1 29859 KachelY + 1 29655 2.58379889 -1.41412164 148.040772 -81.023202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41409172--1.41412164) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dl = 190.620320000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41409172--1.41412164) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dr = 190.620320000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58360714-2.58379889) × cos(-1.41409172) × R
    0.000191750000000379 × 0.156064045354463 × 6371000     		do = 190.653963319169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58360714-2.58379889) × cos(-1.41412164) × R
    0.000191750000000379 × 0.156034491896224 × 6371000     		du = 190.617859654611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41409172)-sin(-1.41412164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156064045354463-0.156034491896224)×R²
    abs(2.58379889-2.58360714)×2.9553458238657e-05×R²
    0.000191750000000379×2.9553458238657e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.9553458238657e-05×40589641000000     		ar = 36339.0784541756m²