Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29858 / 28298
↖ ↑ ↗
← N 23.835601°
W 15.985108°		 ← 558.75 m → N 23.835601°
W 15.979614°		 →
↑
558.74 m
↓
↑
558.74 m
↓
N 23.830576°
W 15.985108°		 ← 558.77 m →
312 201 m²		 N 23.830576°
W 15.979614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455604553222656 y=0.431800842285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455604553222656 × 216)
    floor (0.455604553222656 × 65536)
    floor (29858.5)     		tx = 29858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431800842285156 × 216)
    floor (0.431800842285156 × 65536)
    floor (28298.5)     		ty = 28298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29858 / 28298 ti = "16/29858/28298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29858/28298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29858 ÷ 216
    29858 ÷ 65536     		x = 0.455596923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28298 ÷ 216
    28298 ÷ 65536     		y = 0.431793212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455596923828125 × 2 - 1) × π
    -0.08880615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27899276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431793212890625 × 2 - 1) × π
    0.13641357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.428555882603302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27899276} λ = -0.27899276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.428555882603302))-π/2
    2×atan(1.53503914540009)-π/2
    2×0.993403021595918-π/2
    1.98680604319184-1.57079632675     		φ = 0.41600972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27899276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.985108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41600972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.835601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29858 KachelY 28298 -0.27899276 0.41600972 -15.985108 23.835601
    Oben rechts KachelX + 1 29859 KachelY 28298 -0.27889688 0.41600972 -15.979614 23.835601
    Unten links KachelX 29858 KachelY + 1 28299 -0.27899276 0.41592202 -15.985108 23.830576
    Unten rechts KachelX + 1 29859 KachelY + 1 28299 -0.27889688 0.41592202 -15.979614 23.830576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41600972-0.41592202) × R
    8.77000000000239e-05 × 6371000     		dl = 558.736700000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41600972-0.41592202) × R
    8.77000000000239e-05 × 6371000     		dr = 558.736700000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27899276--0.27889688) × cos(0.41600972) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.914708745131019 × 6371000     		do = 558.751190732183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27899276--0.27889688) × cos(0.41592202) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.914744182387971 × 6371000     		du = 558.772837633039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41600972)-sin(0.41592202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914708745131019-0.914744182387971)×R²
    abs(-0.27889688--0.27899276)×3.54372569519867e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.54372569519867e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.54372569519867e-05×40589641000000     		ar = 312200.844089862m²