Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29858 / 15126
↖ ↑ ↗
← N 69.119527°
W 15.985108°		 ← 217.72 m → N 69.119527°
W 15.979614°		 →
↑
217.76 m
↓
↑
217.76 m
↓
N 69.117569°
W 15.985108°		 ← 217.74 m →
47 413 m²		 N 69.117569°
W 15.979614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455604553222656 y=0.230812072753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455604553222656 × 216)
    floor (0.455604553222656 × 65536)
    floor (29858.5)     		tx = 29858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230812072753906 × 216)
    floor (0.230812072753906 × 65536)
    floor (15126.5)     		ty = 15126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29858 / 15126 ti = "16/29858/15126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29858/15126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29858 ÷ 216
    29858 ÷ 65536     		x = 0.455596923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15126 ÷ 216
    15126 ÷ 65536     		y = 0.230804443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455596923828125 × 2 - 1) × π
    -0.08880615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27899276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230804443359375 × 2 - 1) × π
    0.53839111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69140556619406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27899276} λ = -0.27899276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69140556619406))-π/2
    2×atan(5.42710349991606)-π/2
    2×1.38857982655611-π/2
    2.77715965311223-1.57079632675     		φ = 1.20636333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27899276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.985108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20636333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.119527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29858 KachelY 15126 -0.27899276 1.20636333 -15.985108 69.119527
    Oben rechts KachelX + 1 29859 KachelY 15126 -0.27889688 1.20636333 -15.979614 69.119527
    Unten links KachelX 29858 KachelY + 1 15127 -0.27899276 1.20632915 -15.985108 69.117569
    Unten rechts KachelX + 1 29859 KachelY + 1 15127 -0.27889688 1.20632915 -15.979614 69.117569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20636333-1.20632915) × R
    3.41800000001058e-05 × 6371000     		dl = 217.760780000674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20636333-1.20632915) × R
    3.41800000001058e-05 × 6371000     		dr = 217.760780000674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27899276--0.27889688) × cos(1.20636333) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356419585960465 × 6371000     		do = 217.71943158492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27899276--0.27889688) × cos(1.20632915) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356451521015023 × 6371000     		du = 217.738939160261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20636333)-sin(1.20632915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356419585960465-0.356451521015023)×R²
    abs(-0.27889688--0.27899276)×3.19350545580632e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.19350545580632e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.19350545580632e-05×40589641000000     		ar = 47412.8772405099m²