Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29858 / 13706
↖ ↑ ↗
← N 71.729218°
W 15.985108°		 ← 191.51 m → N 71.729218°
W 15.979614°		 →
↑
191.45 m
↓
↑
191.45 m
↓
N 71.727496°
W 15.985108°		 ← 191.52 m →
36 665 m²		 N 71.727496°
W 15.979614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455604553222656 y=0.209144592285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455604553222656 × 216)
    floor (0.455604553222656 × 65536)
    floor (29858.5)     		tx = 29858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209144592285156 × 216)
    floor (0.209144592285156 × 65536)
    floor (13706.5)     		ty = 13706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29858 / 13706 ti = "16/29858/13706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29858/13706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29858 ÷ 216
    29858 ÷ 65536     		x = 0.455596923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13706 ÷ 216
    13706 ÷ 65536     		y = 0.209136962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455596923828125 × 2 - 1) × π
    -0.08880615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27899276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209136962890625 × 2 - 1) × π
    0.58172607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82754636111502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27899276} λ = -0.27899276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82754636111502))-π/2
    2×atan(6.21860970154703)-π/2
    2×1.41135367567117-π/2
    2.82270735134233-1.57079632675     		φ = 1.25191102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27899276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.985108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25191102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.729218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29858 KachelY 13706 -0.27899276 1.25191102 -15.985108 71.729218
    Oben rechts KachelX + 1 29859 KachelY 13706 -0.27889688 1.25191102 -15.979614 71.729218
    Unten links KachelX 29858 KachelY + 1 13707 -0.27899276 1.25188097 -15.985108 71.727496
    Unten rechts KachelX + 1 29859 KachelY + 1 13707 -0.27889688 1.25188097 -15.979614 71.727496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25191102-1.25188097) × R
    3.00500000001147e-05 × 6371000     		dl = 191.448550000731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25191102-1.25188097) × R
    3.00500000001147e-05 × 6371000     		dr = 191.448550000731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27899276--0.27889688) × cos(1.25191102) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.313508259133766 × 6371000     		do = 191.50698408407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27899276--0.27889688) × cos(1.25188097) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.313536794035691 × 6371000     		du = 191.524414671142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25191102)-sin(1.25188097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313508259133766-0.313536794035691)×R²
    abs(-0.27889688--0.27899276)×2.85349019246706e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.85349019246706e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.85349019246706e-05×40589641000000     		ar = 36665.4029509543m²