Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29857 / 42549
↖ ↑ ↗
← S 47.238219°
W 15.990601°		 ← 414.70 m → S 47.238219°
W 15.985108°		 →
↑
414.69 m
↓
↑
414.69 m
↓
S 47.241949°
W 15.990601°		 ← 414.67 m →
171 963 m²		 S 47.241949°
W 15.985108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455589294433594 y=0.649253845214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455589294433594 × 216)
    floor (0.455589294433594 × 65536)
    floor (29857.5)     		tx = 29857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649253845214844 × 216)
    floor (0.649253845214844 × 65536)
    floor (42549.5)     		ty = 42549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29857 / 42549 ti = "16/29857/42549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29857/42549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29857 ÷ 216
    29857 ÷ 65536     		x = 0.455581665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42549 ÷ 216
    42549 ÷ 65536     		y = 0.649246215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455581665039062 × 2 - 1) × π
    -0.088836669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27908863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649246215820312 × 2 - 1) × π
    -0.298492431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.937741630367538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27908863} λ = -0.27908863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937741630367538))-π/2
    2×atan(0.391511014296367)-π/2
    2×0.373166933103267-π/2
    0.746333866206534-1.57079632675     		φ = -0.82446246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27908863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.990601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82446246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.238219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29857 KachelY 42549 -0.27908863 -0.82446246 -15.990601 -47.238219
    Oben rechts KachelX + 1 29858 KachelY 42549 -0.27899276 -0.82446246 -15.985108 -47.238219
    Unten links KachelX 29857 KachelY + 1 42550 -0.27908863 -0.82452755 -15.990601 -47.241949
    Unten rechts KachelX + 1 29858 KachelY + 1 42550 -0.27899276 -0.82452755 -15.985108 -47.241949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82446246--0.82452755) × R
    6.50899999999899e-05 × 6371000     		dl = 414.688389999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82446246--0.82452755) × R
    6.50899999999899e-05 × 6371000     		dr = 414.688389999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27908863--0.27899276) × cos(-0.82446246) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678951716385432 × 6371000     		do = 414.695404788722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27908863--0.27899276) × cos(-0.82452755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.678903926980642 × 6371000     		du = 414.66621560474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82446246)-sin(-0.82452755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678951716385432-0.678903926980642)×R²
    abs(-0.27899276--0.27908863)×4.77894047904437e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77894047904437e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77894047904437e-05×40589641000000     		ar = 171963.31760535m²