Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29857 / 17765
↖ ↑ ↗
← N 63.300345°
W 15.990601°		 ← 274.44 m → N 63.300345°
W 15.985108°		 →
↑
274.46 m
↓
↑
274.46 m
↓
N 63.297876°
W 15.990601°		 ← 274.46 m →
75 325 m²		 N 63.297876°
W 15.985108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455589294433594 y=0.271080017089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455589294433594 × 216)
    floor (0.455589294433594 × 65536)
    floor (29857.5)     		tx = 29857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271080017089844 × 216)
    floor (0.271080017089844 × 65536)
    floor (17765.5)     		ty = 17765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29857 / 17765 ti = "16/29857/17765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29857/17765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29857 ÷ 216
    29857 ÷ 65536     		x = 0.455581665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17765 ÷ 216
    17765 ÷ 65536     		y = 0.271072387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455581665039062 × 2 - 1) × π
    -0.088836669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27908863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271072387695312 × 2 - 1) × π
    0.457855224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4383946099994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27908863} λ = -0.27908863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4383946099994))-π/2
    2×atan(4.21392539017826)-π/2
    2×1.33779787932998-π/2
    2.67559575865995-1.57079632675     		φ = 1.10479943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27908863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.990601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10479943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.300345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29857 KachelY 17765 -0.27908863 1.10479943 -15.990601 63.300345
    Oben rechts KachelX + 1 29858 KachelY 17765 -0.27899276 1.10479943 -15.985108 63.300345
    Unten links KachelX 29857 KachelY + 1 17766 -0.27908863 1.10475635 -15.990601 63.297876
    Unten rechts KachelX + 1 29858 KachelY + 1 17766 -0.27899276 1.10475635 -15.985108 63.297876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10479943-1.10475635) × R
    4.30799999999731e-05 × 6371000     		dl = 274.462679999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10479943-1.10475635) × R
    4.30799999999731e-05 × 6371000     		dr = 274.462679999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27908863--0.27899276) × cos(1.10479943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449313626330016 × 6371000     		do = 274.435267856718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27908863--0.27899276) × cos(1.10475635) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449352112468876 × 6371000     		du = 274.458774719648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10479943)-sin(1.10475635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449313626330016-0.449352112468876)×R²
    abs(-0.27899276--0.27908863)×3.84861388600943e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84861388600943e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84861388600943e-05×40589641000000     		ar = 75325.4649926612m²