Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29857 / 15073
↖ ↑ ↗
← N 69.223048°
W 15.990601°		 ← 216.67 m → N 69.223048°
W 15.985108°		 →
↑
216.68 m
↓
↑
216.68 m
↓
N 69.221100°
W 15.990601°		 ← 216.68 m →
46 949 m²		 N 69.221100°
W 15.985108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455589294433594 y=0.230003356933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455589294433594 × 216)
    floor (0.455589294433594 × 65536)
    floor (29857.5)     		tx = 29857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230003356933594 × 216)
    floor (0.230003356933594 × 65536)
    floor (15073.5)     		ty = 15073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29857 / 15073 ti = "16/29857/15073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29857/15073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29857 ÷ 216
    29857 ÷ 65536     		x = 0.455581665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15073 ÷ 216
    15073 ÷ 65536     		y = 0.229995727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455581665039062 × 2 - 1) × π
    -0.088836669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27908863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229995727539062 × 2 - 1) × π
    0.540008544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69648687755379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27908863} λ = -0.27908863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69648687755379))-π/2
    2×atan(5.45475048456273)-π/2
    2×1.38948321934582-π/2
    2.77896643869163-1.57079632675     		φ = 1.20817011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27908863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.990601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20817011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.223048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29857 KachelY 15073 -0.27908863 1.20817011 -15.990601 69.223048
    Oben rechts KachelX + 1 29858 KachelY 15073 -0.27899276 1.20817011 -15.985108 69.223048
    Unten links KachelX 29857 KachelY + 1 15074 -0.27908863 1.20813610 -15.990601 69.221100
    Unten rechts KachelX + 1 29858 KachelY + 1 15074 -0.27899276 1.20813610 -15.985108 69.221100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20817011-1.20813610) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dl = 216.677710000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20817011-1.20813610) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dr = 216.677710000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27908863--0.27899276) × cos(1.20817011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354730883586823 × 6371000     		do = 216.66528533612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27908863--0.27899276) × cos(1.20813610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354762681658605 × 6371000     		du = 216.684707209474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20817011)-sin(1.20813610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354730883586823-0.354762681658605)×R²
    abs(-0.27899276--0.27908863)×3.17980717821076e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17980717821076e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17980717821076e-05×40589641000000     		ar = 46948.6420111253m²