Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29856 / 13708
↖ ↑ ↗
← N 71.725773°
W 15.996094°		 ← 191.52 m → N 71.725773°
W 15.990601°		 →
↑
191.51 m
↓
↑
191.51 m
↓
N 71.724051°
W 15.996094°		 ← 191.54 m →
36 680 m²		 N 71.724051°
W 15.990601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455574035644531 y=0.209175109863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455574035644531 × 216)
    floor (0.455574035644531 × 65536)
    floor (29856.5)     		tx = 29856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209175109863281 × 216)
    floor (0.209175109863281 × 65536)
    floor (13708.5)     		ty = 13708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29856 / 13708 ti = "16/29856/13708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29856/13708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29856 ÷ 216
    29856 ÷ 65536     		x = 0.45556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13708 ÷ 216
    13708 ÷ 65536     		y = 0.20916748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45556640625 × 2 - 1) × π
    -0.0888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27918450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20916748046875 × 2 - 1) × π
    0.5816650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.82735461351654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27918450} λ = -0.27918450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82735461351654))-π/2
    2×atan(6.21741741238382)-π/2
    2×1.41132361570712-π/2
    2.82264723141423-1.57079632675     		φ = 1.25185090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27918450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.996094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25185090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.725773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29856 KachelY 13708 -0.27918450 1.25185090 -15.996094 71.725773
    Oben rechts KachelX + 1 29857 KachelY 13708 -0.27908863 1.25185090 -15.990601 71.725773
    Unten links KachelX 29856 KachelY + 1 13709 -0.27918450 1.25182084 -15.996094 71.724051
    Unten rechts KachelX + 1 29857 KachelY + 1 13709 -0.27908863 1.25182084 -15.990601 71.724051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25185090-1.25182084) × R
    3.00600000000539e-05 × 6371000     		dl = 191.512260000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25185090-1.25182084) × R
    3.00600000000539e-05 × 6371000     		dr = 191.512260000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27918450--0.27908863) × cos(1.25185090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313565347645823 × 6371000     		do = 191.521879437863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27918450--0.27908863) × cos(1.25182084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313593891476857 × 6371000     		du = 191.539313660767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25185090)-sin(1.25182084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313565347645823-0.313593891476857)×R²
    abs(-0.27908863--0.27918450)×2.85438310334007e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.85438310334007e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.85438310334007e-05×40589641000000     		ar = 36680.4574071663m²