Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29855 / 43144
↖ ↑ ↗
← S 49.410973°
W 16.001587°		 ← 397.44 m → S 49.410973°
W 15.996094°		 →
↑
397.36 m
↓
↑
397.36 m
↓
S 49.414547°
W 16.001587°		 ← 397.41 m →
157 920 m²		 S 49.414547°
W 15.996094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455558776855469 y=0.658332824707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455558776855469 × 216)
    floor (0.455558776855469 × 65536)
    floor (29855.5)     		tx = 29855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658332824707031 × 216)
    floor (0.658332824707031 × 65536)
    floor (43144.5)     		ty = 43144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29855 / 43144 ti = "16/29855/43144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29855/43144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29855 ÷ 216
    29855 ÷ 65536     		x = 0.455551147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43144 ÷ 216
    43144 ÷ 65536     		y = 0.6583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455551147460938 × 2 - 1) × π
    -0.088897705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27928038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6583251953125 × 2 - 1) × π
    -0.316650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.994786540915405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27928038} λ = -0.27928038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994786540915405))-π/2
    2×atan(0.369802373795868)-π/2
    2×0.354206078932013-π/2
    0.708412157864026-1.57079632675     		φ = -0.86238417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27928038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.001587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86238417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.410973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29855 KachelY 43144 -0.27928038 -0.86238417 -16.001587 -49.410973
    Oben rechts KachelX + 1 29856 KachelY 43144 -0.27918450 -0.86238417 -15.996094 -49.410973
    Unten links KachelX 29855 KachelY + 1 43145 -0.27928038 -0.86244654 -16.001587 -49.414547
    Unten rechts KachelX + 1 29856 KachelY + 1 43145 -0.27918450 -0.86244654 -15.996094 -49.414547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86238417--0.86244654) × R
    6.23699999999783e-05 × 6371000     		dl = 397.359269999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86238417--0.86244654) × R
    6.23699999999783e-05 × 6371000     		dr = 397.359269999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27928038--0.27918450) × cos(-0.86238417) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.650628790059247 × 6371000     		do = 397.43755933827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27928038--0.27918450) × cos(-0.86244654) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.650581425269685 × 6371000     		du = 397.408626486466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86238417)-sin(-0.86244654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650628790059247-0.650581425269685)×R²
    abs(-0.27918450--0.27928038)×4.73647895626872e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73647895626872e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73647895626872e-05×40589641000000     		ar = 157919.750132189m²