Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29855 / 13714
↖ ↑ ↗
← N 71.715436°
W 16.001587°		 ← 191.65 m → N 71.715436°
W 15.996094°		 →
↑
191.64 m
↓
↑
191.64 m
↓
N 71.713712°
W 16.001587°		 ← 191.66 m →
36 729 m²		 N 71.713712°
W 15.996094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455558776855469 y=0.209266662597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455558776855469 × 216)
    floor (0.455558776855469 × 65536)
    floor (29855.5)     		tx = 29855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209266662597656 × 216)
    floor (0.209266662597656 × 65536)
    floor (13714.5)     		ty = 13714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29855 / 13714 ti = "16/29855/13714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29855/13714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29855 ÷ 216
    29855 ÷ 65536     		x = 0.455551147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13714 ÷ 216
    13714 ÷ 65536     		y = 0.209259033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455551147460938 × 2 - 1) × π
    -0.088897705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27928038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209259033203125 × 2 - 1) × π
    0.58148193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8267793707211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27928038} λ = -0.27928038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8267793707211))-π/2
    2×atan(6.21384191629887)-π/2
    2×1.41123340296903-π/2
    2.82246680593806-1.57079632675     		φ = 1.25167048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27928038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.001587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25167048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.715436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29855 KachelY 13714 -0.27928038 1.25167048 -16.001587 71.715436
    Oben rechts KachelX + 1 29856 KachelY 13714 -0.27918450 1.25167048 -15.996094 71.715436
    Unten links KachelX 29855 KachelY + 1 13715 -0.27928038 1.25164040 -16.001587 71.713712
    Unten rechts KachelX + 1 29856 KachelY + 1 13715 -0.27918450 1.25164040 -15.996094 71.713712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25167048-1.25164040) × R
    3.00799999999324e-05 × 6371000     		dl = 191.639679999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25167048-1.25164040) × R
    3.00799999999324e-05 × 6371000     		dr = 191.639679999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27928038--0.27918450) × cos(1.25167048) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.313736663351642 × 6371000     		do = 191.646505138597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27928038--0.27918450) × cos(1.25164040) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.313765224471547 × 6371000     		du = 191.663951740962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25167048)-sin(1.25164040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313736663351642-0.313765224471547)×R²
    abs(-0.27918450--0.27928038)×2.85611199050684e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.85611199050684e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.85611199050684e-05×40589641000000     		ar = 36728.7466512492m²