Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29854 / 29677
↖ ↑ ↗
← S 81.060837°
E147.985840°		 ← 189.83 m → S 81.060837°
E147.996826°		 →
↑
189.79 m
↓
↑
189.79 m
↓
S 81.062544°
E147.985840°		 ← 189.79 m →
36 024 m²		 S 81.062544°
E147.996826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911087036132812 y=0.905685424804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911087036132812 × 215)
    floor (0.911087036132812 × 32768)
    floor (29854.5)     		tx = 29854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905685424804688 × 215)
    floor (0.905685424804688 × 32768)
    floor (29677.5)     		ty = 29677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29854 / 29677 ti = "15/29854/29677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29854/29677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29854 ÷ 215
    29854 ÷ 32768     		x = 0.91107177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29677 ÷ 215
    29677 ÷ 32768     		y = 0.905670166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91107177734375 × 2 - 1) × π
    0.8221435546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58284015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905670166015625 × 2 - 1) × π
    -0.81134033203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54890082659763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58284015} λ = 2.58284015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54890082659763))-π/2
    2×atan(0.0781675384773598)-π/2
    2×0.0780089141100256-π/2
    0.156017828220051-1.57079632675     		φ = -1.41477850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58284015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.985840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41477850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.060837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29854 KachelY 29677 2.58284015 -1.41477850 147.985840 -81.060837
    Oben rechts KachelX + 1 29855 KachelY 29677 2.58303190 -1.41477850 147.996826 -81.060837
    Unten links KachelX 29854 KachelY + 1 29678 2.58284015 -1.41480829 147.985840 -81.062544
    Unten rechts KachelX + 1 29855 KachelY + 1 29678 2.58303190 -1.41480829 147.996826 -81.062544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41477850--1.41480829) × R
    2.97900000001405e-05 × 6371000     		dl = 189.792090000895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41477850--1.41480829) × R
    2.97900000001405e-05 × 6371000     		dr = 189.792090000895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58284015-2.58303190) × cos(-1.41477850) × R
    0.000191749999999935 × 0.155385643760524 × 6371000     		do = 189.825201304309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58284015-2.58303190) × cos(-1.41480829) × R
    0.000191749999999935 × 0.155356215524291 × 6371000     		du = 189.789250615869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41477850)-sin(-1.41480829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155385643760524-0.155356215524291)×R²
    abs(2.58303190-2.58284015)×2.94282362323095e-05×R²
    0.000191749999999935×2.94282362323095e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.94282362323095e-05×40589641000000     		ar = 36023.9101155657m²