Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29853 / 13710
↖ ↑ ↗
← N 71.722328°
W 16.012573°		 ← 191.56 m → N 71.722328°
W 16.007080°		 →
↑
191.58 m
↓
↑
191.58 m
↓
N 71.720605°
W 16.012573°		 ← 191.57 m →
36 699 m²		 N 71.720605°
W 16.007080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455528259277344 y=0.209205627441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455528259277344 × 216)
    floor (0.455528259277344 × 65536)
    floor (29853.5)     		tx = 29853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209205627441406 × 216)
    floor (0.209205627441406 × 65536)
    floor (13710.5)     		ty = 13710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29853 / 13710 ti = "16/29853/13710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29853/13710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29853 ÷ 216
    29853 ÷ 65536     		x = 0.455520629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13710 ÷ 216
    13710 ÷ 65536     		y = 0.209197998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455520629882812 × 2 - 1) × π
    -0.088958740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27947212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209197998046875 × 2 - 1) × π
    0.58160400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.82716286591806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27947212} λ = -0.27947212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82716286591806))-π/2
    2×atan(6.21622535181727)-π/2
    2×1.41129355026933-π/2
    2.82258710053867-1.57079632675     		φ = 1.25179077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27947212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.012573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25179077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.722328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29853 KachelY 13710 -0.27947212 1.25179077 -16.012573 71.722328
    Oben rechts KachelX + 1 29854 KachelY 13710 -0.27937625 1.25179077 -16.007080 71.722328
    Unten links KachelX 29853 KachelY + 1 13711 -0.27947212 1.25176070 -16.012573 71.720605
    Unten rechts KachelX + 1 29854 KachelY + 1 13711 -0.27937625 1.25176070 -16.007080 71.720605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25179077-1.25176070) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dl = 191.575969999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25179077-1.25176070) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dr = 191.575969999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27947212--0.27937625) × cos(1.25179077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313622444520003 × 6371000     		do = 191.556753510317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27947212--0.27937625) × cos(1.25176070) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313650997279571 × 6371000     		du = 191.574193186661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25179077)-sin(1.25176070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313622444520003-0.313650997279571)×R²
    abs(-0.27937625--0.27947212)×2.85527595674795e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.85527595674795e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.85527595674795e-05×40589641000000     		ar = 36699.3413782047m²