Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29853 / 13669
↖ ↑ ↗
← N 71.792830°
W 16.012573°		 ← 190.84 m → N 71.792830°
W 16.007080°		 →
↑
190.88 m
↓
↑
190.88 m
↓
N 71.791114°
W 16.012573°		 ← 190.86 m →
36 429 m²		 N 71.791114°
W 16.007080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455528259277344 y=0.208580017089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455528259277344 × 216)
    floor (0.455528259277344 × 65536)
    floor (29853.5)     		tx = 29853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208580017089844 × 216)
    floor (0.208580017089844 × 65536)
    floor (13669.5)     		ty = 13669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29853 / 13669 ti = "16/29853/13669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29853/13669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29853 ÷ 216
    29853 ÷ 65536     		x = 0.455520629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13669 ÷ 216
    13669 ÷ 65536     		y = 0.208572387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455520629882812 × 2 - 1) × π
    -0.088958740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27947212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208572387695312 × 2 - 1) × π
    0.582855224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8310936916869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27947212} λ = -0.27947212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8310936916869))-π/2
    2×atan(6.24070833826748)-π/2
    2×1.41190879877604-π/2
    2.82381759755209-1.57079632675     		φ = 1.25302127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27947212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.012573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25302127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.792830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29853 KachelY 13669 -0.27947212 1.25302127 -16.012573 71.792830
    Oben rechts KachelX + 1 29854 KachelY 13669 -0.27937625 1.25302127 -16.007080 71.792830
    Unten links KachelX 29853 KachelY + 1 13670 -0.27947212 1.25299131 -16.012573 71.791114
    Unten rechts KachelX + 1 29854 KachelY + 1 13670 -0.27937625 1.25299131 -16.007080 71.791114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25302127-1.25299131) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dl = 190.875159999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25302127-1.25299131) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dr = 190.875159999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27947212--0.27937625) × cos(1.25302127) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312453788854671 × 6371000     		do = 190.842952922591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27947212--0.27937625) × cos(1.25299131) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.312482248705939 × 6371000     		du = 190.860335851682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25302127)-sin(1.25299131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312453788854671-0.312482248705939)×R²
    abs(-0.27937625--0.27947212)×2.84598512688694e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.84598512688694e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.84598512688694e-05×40589641000000     		ar = 36428.8381615026m²