Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29852 / 13644
↖ ↑ ↗
← N 71.835691°
W 16.018066°		 ← 190.43 m → N 71.835691°
W 16.012573°		 →
↑
190.43 m
↓
↑
190.43 m
↓
N 71.833978°
W 16.018066°		 ← 190.45 m →
36 265 m²		 N 71.833978°
W 16.012573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455513000488281 y=0.208198547363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455513000488281 × 216)
    floor (0.455513000488281 × 65536)
    floor (29852.5)     		tx = 29852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208198547363281 × 216)
    floor (0.208198547363281 × 65536)
    floor (13644.5)     		ty = 13644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29852 / 13644 ti = "16/29852/13644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29852/13644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29852 ÷ 216
    29852 ÷ 65536     		x = 0.45550537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13644 ÷ 216
    13644 ÷ 65536     		y = 0.20819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45550537109375 × 2 - 1) × π
    -0.0889892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27956800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20819091796875 × 2 - 1) × π
    0.5836181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83349053666791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27956800} λ = -0.27956800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83349053666791))-π/2
    2×atan(6.25568428907265)-π/2
    2×1.4122828244278-π/2
    2.8245656488556-1.57079632675     		φ = 1.25376932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27956800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.018066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25376932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.835691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29852 KachelY 13644 -0.27956800 1.25376932 -16.018066 71.835691
    Oben rechts KachelX + 1 29853 KachelY 13644 -0.27947212 1.25376932 -16.012573 71.835691
    Unten links KachelX 29852 KachelY + 1 13645 -0.27956800 1.25373943 -16.018066 71.833978
    Unten rechts KachelX + 1 29853 KachelY + 1 13645 -0.27947212 1.25373943 -16.012573 71.833978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25376932-1.25373943) × R
    2.98899999999769e-05 × 6371000     		dl = 190.429189999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25376932-1.25373943) × R
    2.98899999999769e-05 × 6371000     		dr = 190.429189999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27956800--0.27947212) × cos(1.25376932) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.311743104148435 × 6371000     		do = 190.428736548851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27956800--0.27947212) × cos(1.25373943) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.311771504483645 × 6371000     		du = 190.446084935646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25376932)-sin(1.25373943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311743104148435-0.311771504483645)×R²
    abs(-0.27947212--0.27956800)×2.84003352100659e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.84003352100659e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.84003352100659e-05×40589641000000     		ar = 36264.8418762108m²