Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29851 / 29685
↖ ↑ ↗
← S 81.074484°
E147.952881°		 ← 189.54 m → S 81.074484°
E147.963867°		 →
↑
189.47 m
↓
↑
189.47 m
↓
S 81.076188°
E147.952881°		 ← 189.50 m →
35 909 m²		 S 81.076188°
E147.963867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910995483398438 y=0.905929565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910995483398438 × 215)
    floor (0.910995483398438 × 32768)
    floor (29851.5)     		tx = 29851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905929565429688 × 215)
    floor (0.905929565429688 × 32768)
    floor (29685.5)     		ty = 29685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29851 / 29685 ti = "15/29851/29685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29851/29685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29851 ÷ 215
    29851 ÷ 32768     		x = 0.910980224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29685 ÷ 215
    29685 ÷ 32768     		y = 0.905914306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910980224609375 × 2 - 1) × π
    0.82196044921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58226491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905914306640625 × 2 - 1) × π
    -0.81182861328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55043480738547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58226491} λ = 2.58226491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55043480738547))-π/2
    2×atan(0.0780477228959974)-π/2
    2×0.0778898250674678-π/2
    0.155779650134936-1.57079632675     		φ = -1.41501668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58226491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.952881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41501668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.074484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29851 KachelY 29685 2.58226491 -1.41501668 147.952881 -81.074484
    Oben rechts KachelX + 1 29852 KachelY 29685 2.58245666 -1.41501668 147.963867 -81.074484
    Unten links KachelX 29851 KachelY + 1 29686 2.58226491 -1.41504642 147.952881 -81.076188
    Unten rechts KachelX + 1 29852 KachelY + 1 29686 2.58245666 -1.41504642 147.963867 -81.076188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41501668--1.41504642) × R
    2.97400000000003e-05 × 6371000     		dl = 189.473540000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41501668--1.41504642) × R
    2.97400000000003e-05 × 6371000     		dr = 189.473540000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58226491-2.58245666) × cos(-1.41501668) × R
    0.000191749999999935 × 0.155150352316493 × 6371000     		do = 189.537760041092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58226491-2.58245666) × cos(-1.41504642) × R
    0.000191749999999935 × 0.155120972373454 × 6371000     		du = 189.501868349513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41501668)-sin(-1.41504642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155150352316493-0.155120972373454)×R²
    abs(2.58245666-2.58226491)×2.93799430392538e-05×R²
    0.000191749999999935×2.93799430392538e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.93799430392538e-05×40589641000000     		ar = 35908.9900983747m²