Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29851 / 29669
↖ ↑ ↗
← S 81.047170°
E147.952881°		 ← 190.11 m → S 81.047170°
E147.963867°		 →
↑
190.11 m
↓
↑
190.11 m
↓
S 81.048879°
E147.952881°		 ← 190.08 m →
36 139 m²		 S 81.048879°
E147.963867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910995483398438 y=0.905441284179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910995483398438 × 215)
    floor (0.910995483398438 × 32768)
    floor (29851.5)     		tx = 29851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905441284179688 × 215)
    floor (0.905441284179688 × 32768)
    floor (29669.5)     		ty = 29669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29851 / 29669 ti = "15/29851/29669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29851/29669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29851 ÷ 215
    29851 ÷ 32768     		x = 0.910980224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29669 ÷ 215
    29669 ÷ 32768     		y = 0.905426025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910980224609375 × 2 - 1) × π
    0.82196044921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58226491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905426025390625 × 2 - 1) × π
    -0.81085205078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54736684580978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58226491} λ = 2.58226491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54736684580978))-π/2
    2×atan(0.0782875379945631)-π/2
    2×0.0781281837508286-π/2
    0.156256367501657-1.57079632675     		φ = -1.41453996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58226491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.952881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41453996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.047170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29851 KachelY 29669 2.58226491 -1.41453996 147.952881 -81.047170
    Oben rechts KachelX + 1 29852 KachelY 29669 2.58245666 -1.41453996 147.963867 -81.047170
    Unten links KachelX 29851 KachelY + 1 29670 2.58226491 -1.41456980 147.952881 -81.048879
    Unten rechts KachelX + 1 29852 KachelY + 1 29670 2.58245666 -1.41456980 147.963867 -81.048879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41453996--1.41456980) × R
    2.98400000000587e-05 × 6371000     		dl = 190.110640000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41453996--1.41456980) × R
    2.98400000000587e-05 × 6371000     		dr = 190.110640000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58226491-2.58245666) × cos(-1.41453996) × R
    0.000191749999999935 × 0.155621282003627 × 6371000     		do = 190.113066230885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58226491-2.58245666) × cos(-1.41456980) × R
    0.000191749999999935 × 0.155591805481243 × 6371000     		du = 190.077056554187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41453996)-sin(-1.41456980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155621282003627-0.155591805481243)×R²
    abs(2.58245666-2.58226491)×2.94765223842197e-05×R²
    0.000191749999999935×2.94765223842197e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.94765223842197e-05×40589641000000     		ar = 36139.0937850105m²