Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29851 / 28313
↖ ↑ ↗
← N 23.760210°
W 16.023559°		 ← 559.02 m → N 23.760210°
W 16.018066°		 →
↑
559.06 m
↓
↑
559.06 m
↓
N 23.755182°
W 16.023559°		 ← 559.04 m →
312 528 m²		 N 23.755182°
W 16.018066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455497741699219 y=0.432029724121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455497741699219 × 216)
    floor (0.455497741699219 × 65536)
    floor (29851.5)     		tx = 29851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432029724121094 × 216)
    floor (0.432029724121094 × 65536)
    floor (28313.5)     		ty = 28313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29851 / 28313 ti = "16/29851/28313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29851/28313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29851 ÷ 216
    29851 ÷ 65536     		x = 0.455490112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28313 ÷ 216
    28313 ÷ 65536     		y = 0.432022094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455490112304688 × 2 - 1) × π
    -0.089019775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27966387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432022094726562 × 2 - 1) × π
    0.135955810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.4271177756147
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27966387} λ = -0.27966387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4271177756147))-π/2
    2×atan(1.53283318146358)-π/2
    2×0.992745106107023-π/2
    1.98549021221405-1.57079632675     		φ = 0.41469389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27966387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.023559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41469389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.760210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29851 KachelY 28313 -0.27966387 0.41469389 -16.023559 23.760210
    Oben rechts KachelX + 1 29852 KachelY 28313 -0.27956800 0.41469389 -16.018066 23.760210
    Unten links KachelX 29851 KachelY + 1 28314 -0.27966387 0.41460614 -16.023559 23.755182
    Unten rechts KachelX + 1 29852 KachelY + 1 28314 -0.27956800 0.41460614 -16.018066 23.755182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41469389-0.41460614) × R
    8.77499999999976e-05 × 6371000     		dl = 559.055249999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41469389-0.41460614) × R
    8.77499999999976e-05 × 6371000     		dr = 559.055249999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27966387--0.27956800) × cos(0.41469389) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915239698087571 × 6371000     		do = 559.017214210368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27966387--0.27956800) × cos(0.41460614) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915275049897479 × 6371000     		du = 559.038806663508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41469389)-sin(0.41460614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915239698087571-0.915275049897479)×R²
    abs(-0.27956800--0.27966387)×3.53518099083239e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.53518099083239e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.53518099083239e-05×40589641000000     		ar = 312527.544332338m²