Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29851 / 21868
↖ ↑ ↗
← N 75.944233°
W 98.011780°		 ← 74.16 m → N 75.944233°
W 98.009033°		 →
↑
74.16 m
↓
↑
74.16 m
↓
N 75.943566°
W 98.011780°		 ← 74.17 m →
5 500 m²		 N 75.943566°
W 98.009033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227748870849609 y=0.166843414306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227748870849609 × 217)
    floor (0.227748870849609 × 131072)
    floor (29851.5)     		tx = 29851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166843414306641 × 217)
    floor (0.166843414306641 × 131072)
    floor (21868.5)     		ty = 21868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29851 / 21868 ti = "17/29851/21868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29851/21868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29851 ÷ 217
    29851 ÷ 131072     		x = 0.227745056152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21868 ÷ 217
    21868 ÷ 131072     		y = 0.166839599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227745056152344 × 2 - 1) × π
    -0.544509887695312 × 3.1415926535     		Λ = -1.71062826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166839599609375 × 2 - 1) × π
    0.66632080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.09330853260861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71062826} λ = -1.71062826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09330853260861))-π/2
    2×atan(8.11170866891487)-π/2
    2×1.44813661744014-π/2
    2.89627323488028-1.57079632675     		φ = 1.32547691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71062826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.011780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32547691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.944233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29851 KachelY 21868 -1.71062826 1.32547691 -98.011780 75.944233
    Oben rechts KachelX + 1 29852 KachelY 21868 -1.71058033 1.32547691 -98.009033 75.944233
    Unten links KachelX 29851 KachelY + 1 21869 -1.71062826 1.32546527 -98.011780 75.943566
    Unten rechts KachelX + 1 29852 KachelY + 1 21869 -1.71058033 1.32546527 -98.009033 75.943566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32547691-1.32546527) × R
    1.16399999998684e-05 × 6371000     		dl = 74.1584399991617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32547691-1.32546527) × R
    1.16399999998684e-05 × 6371000     		dr = 74.1584399991617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71062826--1.71058033) × cos(1.32547691) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.242866190564597 × 6371000     		do = 74.1621129692177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71062826--1.71058033) × cos(1.32546527) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.242877482044204 × 6371000     		du = 74.1655609583519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32547691)-sin(1.32546527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242866190564597-0.242877482044204)×R²
    abs(-1.71058033--1.71062826)×1.12914796061292e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.12914796061292e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.12914796061292e-05×40589641000000     		ar = 5499.87445359726m²