Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29851 / 15231
↖ ↑ ↗
← N 68.912981°
W 16.023559°		 ← 219.75 m → N 68.912981°
W 16.018066°		 →
↑
219.74 m
↓
↑
219.74 m
↓
N 68.911005°
W 16.023559°		 ← 219.77 m →
48 290 m²		 N 68.911005°
W 16.018066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455497741699219 y=0.232414245605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455497741699219 × 216)
    floor (0.455497741699219 × 65536)
    floor (29851.5)     		tx = 29851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232414245605469 × 216)
    floor (0.232414245605469 × 65536)
    floor (15231.5)     		ty = 15231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29851 / 15231 ti = "16/29851/15231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29851/15231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29851 ÷ 216
    29851 ÷ 65536     		x = 0.455490112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15231 ÷ 216
    15231 ÷ 65536     		y = 0.232406616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455490112304688 × 2 - 1) × π
    -0.089019775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27966387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232406616210938 × 2 - 1) × π
    0.535186767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68133881727385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27966387} λ = -0.27966387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68133881727385))-π/2
    2×atan(5.37274428098291)-π/2
    2×1.38677737386485-π/2
    2.77355474772971-1.57079632675     		φ = 1.20275842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27966387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.023559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20275842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.912981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29851 KachelY 15231 -0.27966387 1.20275842 -16.023559 68.912981
    Oben rechts KachelX + 1 29852 KachelY 15231 -0.27956800 1.20275842 -16.018066 68.912981
    Unten links KachelX 29851 KachelY + 1 15232 -0.27966387 1.20272393 -16.023559 68.911005
    Unten rechts KachelX + 1 29852 KachelY + 1 15232 -0.27956800 1.20272393 -16.018066 68.911005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20275842-1.20272393) × R
    3.44899999999981e-05 × 6371000     		dl = 219.735789999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20275842-1.20272393) × R
    3.44899999999981e-05 × 6371000     		dr = 219.735789999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27966387--0.27956800) × cos(1.20275842) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359785423913884 × 6371000     		do = 219.752536750861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27966387--0.27956800) × cos(1.20272393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359817604079576 × 6371000     		du = 219.772192002502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20275842)-sin(1.20272393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359785423913884-0.359817604079576)×R²
    abs(-0.27956800--0.27966387)×3.21801656920639e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.21801656920639e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.21801656920639e-05×40589641000000     		ar = 48289.6567534337m²