Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29850 / 15134
↖ ↑ ↗
← N 69.103859°
W 16.029053°		 ← 217.88 m → N 69.103859°
W 16.023559°		 →
↑
217.89 m
↓
↑
217.89 m
↓
N 69.101899°
W 16.029053°		 ← 217.90 m →
47 475 m²		 N 69.101899°
W 16.023559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455482482910156 y=0.230934143066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455482482910156 × 216)
    floor (0.455482482910156 × 65536)
    floor (29850.5)     		tx = 29850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230934143066406 × 216)
    floor (0.230934143066406 × 65536)
    floor (15134.5)     		ty = 15134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29850 / 15134 ti = "16/29850/15134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29850/15134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29850 ÷ 216
    29850 ÷ 65536     		x = 0.455474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15134 ÷ 216
    15134 ÷ 65536     		y = 0.230926513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455474853515625 × 2 - 1) × π
    -0.08905029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27975975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230926513671875 × 2 - 1) × π
    0.53814697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69063857580014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27975975} λ = -0.27975975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69063857580014))-π/2
    2×atan(5.42294255956943)-π/2
    2×1.38844309236987-π/2
    2.77688618473973-1.57079632675     		φ = 1.20608986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27975975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.029053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20608986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.103859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29850 KachelY 15134 -0.27975975 1.20608986 -16.029053 69.103859
    Oben rechts KachelX + 1 29851 KachelY 15134 -0.27966387 1.20608986 -16.023559 69.103859
    Unten links KachelX 29850 KachelY + 1 15135 -0.27975975 1.20605566 -16.029053 69.101899
    Unten rechts KachelX + 1 29851 KachelY + 1 15135 -0.27966387 1.20605566 -16.023559 69.101899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20608986-1.20605566) × R
    3.41999999999842e-05 × 6371000     		dl = 217.8881999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20608986-1.20605566) × R
    3.41999999999842e-05 × 6371000     		dr = 217.8881999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27975975--0.27966387) × cos(1.20608986) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356675082761584 × 6371000     		do = 217.87550218402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27975975--0.27966387) × cos(1.20605566) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.356707033167598 × 6371000     		du = 217.89501913682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20608986)-sin(1.20605566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356675082761584-0.356707033167598)×R²
    abs(-0.27966387--0.27975975)×3.1950406013781e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.1950406013781e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.1950406013781e-05×40589641000000     		ar = 47474.6272564427m²