Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29849 / 42633
↖ ↑ ↗
← S 47.550579°
W 16.034546°		 ← 412.24 m → S 47.550579°
W 16.029053°		 →
↑
412.27 m
↓
↑
412.27 m
↓
S 47.554287°
W 16.034546°		 ← 412.22 m →
169 949 m²		 S 47.554287°
W 16.029053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455467224121094 y=0.650535583496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455467224121094 × 216)
    floor (0.455467224121094 × 65536)
    floor (29849.5)     		tx = 29849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650535583496094 × 216)
    floor (0.650535583496094 × 65536)
    floor (42633.5)     		ty = 42633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29849 / 42633 ti = "16/29849/42633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29849/42633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29849 ÷ 216
    29849 ÷ 65536     		x = 0.455459594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42633 ÷ 216
    42633 ÷ 65536     		y = 0.650527954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455459594726562 × 2 - 1) × π
    -0.089080810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27985562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650527954101562 × 2 - 1) × π
    -0.301055908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.945795029503708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27985562} λ = -0.27985562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.945795029503708))-π/2
    2×atan(0.388370681979571)-π/2
    2×0.370441078562434-π/2
    0.740882157124868-1.57079632675     		φ = -0.82991417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27985562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.034546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82991417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.550579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29849 KachelY 42633 -0.27985562 -0.82991417 -16.034546 -47.550579
    Oben rechts KachelX + 1 29850 KachelY 42633 -0.27975975 -0.82991417 -16.029053 -47.550579
    Unten links KachelX 29849 KachelY + 1 42634 -0.27985562 -0.82997888 -16.034546 -47.554287
    Unten rechts KachelX + 1 29850 KachelY + 1 42634 -0.27975975 -0.82997888 -16.029053 -47.554287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82991417--0.82997888) × R
    6.47099999999678e-05 × 6371000     		dl = 412.267409999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82991417--0.82997888) × R
    6.47099999999678e-05 × 6371000     		dr = 412.267409999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27985562--0.27975975) × cos(-0.82991417) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.674939094234938 × 6371000     		do = 412.244544253807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27985562--0.27975975) × cos(-0.82997888) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.674891345031308 × 6371000     		du = 412.215379624203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82991417)-sin(-0.82997888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674939094234938-0.674891345031308)×R²
    abs(-0.27975975--0.27985562)×4.77492036299321e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.77492036299321e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.77492036299321e-05×40589641000000     		ar = 169948.978792319m²