Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29849 / 29673
S 81.054006°
E147.930908°
← 189.97 m → S 81.054006°
E147.941894°

189.98 m

189.98 m
S 81.055714°
E147.930908°
← 189.93 m →
36 088 m²
S 81.055714°
E147.941894°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910934448242188 y=0.905563354492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910934448242188 × 215)
    floor (0.910934448242188 × 32768)
    floor (29849.5)
    tx = 29849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905563354492188 × 215)
    floor (0.905563354492188 × 32768)
    floor (29673.5)
    ty = 29673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29849 / 29673 ti = "15/29849/29673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29849/29673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29849 ÷ 215
    29849 ÷ 32768
    x = 0.910919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29673 ÷ 215
    29673 ÷ 32768
    y = 0.905548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.910919189453125 × 2 - 1) × π
    0.82183837890625 × 3.1415926535
    Λ = 2.58188141
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.905548095703125 × 2 - 1) × π
    -0.81109619140625 × 3.1415926535
    Φ = -2.5481338362037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58188141} λ = 2.58188141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5481338362037))-π/2
    2×atan(0.0782275152263433)-π/2
    2×0.0780685263389624-π/2
    0.156137052677925-1.57079632675
    φ = -1.41465927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58188141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.930908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41465927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.054006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29849 KachelY 29673 2.58188141 -1.41465927 147.930908 -81.054006
    Oben rechts KachelX + 1 29850 KachelY 29673 2.58207316 -1.41465927 147.941894 -81.054006
    Unten links KachelX 29849 KachelY + 1 29674 2.58188141 -1.41468909 147.930908 -81.055714
    Unten rechts KachelX + 1 29850 KachelY + 1 29674 2.58207316 -1.41468909 147.941894 -81.055714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.41465927--1.41468909) × R
    2.98199999999582e-05 × 6371000
    dl = 189.983219999734m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.41465927--1.41468909) × R
    2.98199999999582e-05 × 6371000
    dr = 189.983219999734m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.58188141-2.58207316) × cos(-1.41465927) × R
    0.000191750000000379 × 0.155503424474705 × 6371000
    do = 189.969086848086m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.58188141-2.58207316) × cos(-1.41468909) × R
    0.000191750000000379 × 0.155473967155339 × 6371000
    du = 189.933100630548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.41465927)-sin(-1.41468909))×
    abs(λ12)×abs(0.155503424474705-0.155473967155339)×
    abs(2.58207316-2.58188141)×2.9457319366516e-05×
    0.000191750000000379×2.9457319366516e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.9457319366516e-05×40589641000000
    ar = 36087.5204334853m²