Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29849 / 29670
↖ ↑ ↗
← S 81.048879°
E147.930908°		 ← 190.08 m → S 81.048879°
E147.941894°		 →
↑
190.05 m
↓
↑
190.05 m
↓
S 81.050589°
E147.930908°		 ← 190.04 m →
36 120 m²		 S 81.050589°
E147.941894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910934448242188 y=0.905471801757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910934448242188 × 215)
    floor (0.910934448242188 × 32768)
    floor (29849.5)     		tx = 29849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905471801757812 × 215)
    floor (0.905471801757812 × 32768)
    floor (29670.5)     		ty = 29670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29849 / 29670 ti = "15/29849/29670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29849/29670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29849 ÷ 215
    29849 ÷ 32768     		x = 0.910919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29670 ÷ 215
    29670 ÷ 32768     		y = 0.90545654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910919189453125 × 2 - 1) × π
    0.82183837890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58188141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90545654296875 × 2 - 1) × π
    -0.8109130859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54755859340826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58188141} λ = 2.58188141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54755859340826))-π/2
    2×atan(0.0782725279862742)-π/2
    2×0.0781132651601364-π/2
    0.156226530320273-1.57079632675     		φ = -1.41456980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58188141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.930908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41456980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.048879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29849 KachelY 29670 2.58188141 -1.41456980 147.930908 -81.048879
    Oben rechts KachelX + 1 29850 KachelY 29670 2.58207316 -1.41456980 147.941894 -81.048879
    Unten links KachelX 29849 KachelY + 1 29671 2.58188141 -1.41459963 147.930908 -81.050589
    Unten rechts KachelX + 1 29850 KachelY + 1 29671 2.58207316 -1.41459963 147.941894 -81.050589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41456980--1.41459963) × R
    2.98300000001195e-05 × 6371000     		dl = 190.046930000761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41456980--1.41459963) × R
    2.98300000001195e-05 × 6371000     		dr = 190.046930000761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58188141-2.58207316) × cos(-1.41456980) × R
    0.000191750000000379 × 0.155591805481243 × 6371000     		do = 190.077056554627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58188141-2.58207316) × cos(-1.41459963) × R
    0.000191750000000379 × 0.155562338698576 × 6371000     		du = 190.04105877635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41456980)-sin(-1.41459963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155591805481243-0.155562338698576)×R²
    abs(2.58207316-2.58188141)×2.94667826664097e-05×R²
    0.000191750000000379×2.94667826664097e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.94667826664097e-05×40589641000000     		ar = 36120.1404309852m²