Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 29849 / 29542
↖ ↑ ↗
← S 80.827405°
E147.930908°		 ← 194.74 m → S 80.827405°
E147.941894°		 →
↑
194.70 m
↓
↑
194.70 m
↓
S 80.829156°
E147.930908°		 ← 194.70 m →
37 912 m²		 S 80.829156°
E147.941894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910934448242188 y=0.901565551757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910934448242188 × 215)
    floor (0.910934448242188 × 32768)
    floor (29849.5)     		tx = 29849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901565551757812 × 215)
    floor (0.901565551757812 × 32768)
    floor (29542.5)     		ty = 29542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29849 / 29542 ti = "15/29849/29542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29849/29542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29849 ÷ 215
    29849 ÷ 32768     		x = 0.910919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29542 ÷ 215
    29542 ÷ 32768     		y = 0.90155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910919189453125 × 2 - 1) × π
    0.82183837890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58188141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90155029296875 × 2 - 1) × π
    -0.8031005859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5230149008028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58188141} λ = 2.58188141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5230149008028))-π/2
    2×atan(0.0802173943232383)-π/2
    2×0.0800459938234676-π/2
    0.160091987646935-1.57079632675     		φ = -1.41070434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58188141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.930908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41070434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.827405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29849 KachelY 29542 2.58188141 -1.41070434 147.930908 -80.827405
    Oben rechts KachelX + 1 29850 KachelY 29542 2.58207316 -1.41070434 147.941894 -80.827405
    Unten links KachelX 29849 KachelY + 1 29543 2.58188141 -1.41073490 147.930908 -80.829156
    Unten rechts KachelX + 1 29850 KachelY + 1 29543 2.58207316 -1.41073490 147.941894 -80.829156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41070434--1.41073490) × R
    3.05600000001238e-05 × 6371000     		dl = 194.697760000789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41070434--1.41073490) × R
    3.05600000001238e-05 × 6371000     		dr = 194.697760000789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58188141-2.58207316) × cos(-1.41070434) × R
    0.000191750000000379 × 0.159409017813709 × 6371000     		do = 194.740312965561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58188141-2.58207316) × cos(-1.41073490) × R
    0.000191750000000379 × 0.159378848521486 × 6371000     		du = 194.703456974037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41070434)-sin(-1.41073490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159409017813709-0.159378848521486)×R²
    abs(2.58207316-2.58188141)×3.01692922228536e-05×R²
    0.000191750000000379×3.01692922228536e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.01692922228536e-05×40589641000000     		ar = 37911.9148291003m²