Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29849 / 17841
↖ ↑ ↗
← N 63.112154°
W 16.034546°		 ← 276.23 m → N 63.112154°
W 16.029053°		 →
↑
276.25 m
↓
↑
276.25 m
↓
N 63.109669°
W 16.034546°		 ← 276.25 m →
76 310 m²		 N 63.109669°
W 16.029053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455467224121094 y=0.272239685058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455467224121094 × 216)
    floor (0.455467224121094 × 65536)
    floor (29849.5)     		tx = 29849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272239685058594 × 216)
    floor (0.272239685058594 × 65536)
    floor (17841.5)     		ty = 17841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29849 / 17841 ti = "16/29849/17841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29849/17841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29849 ÷ 216
    29849 ÷ 65536     		x = 0.455459594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17841 ÷ 216
    17841 ÷ 65536     		y = 0.272232055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455459594726562 × 2 - 1) × π
    -0.089080810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27985562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272232055664062 × 2 - 1) × π
    0.455535888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43110820125716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27985562} λ = -0.27985562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43110820125716))-π/2
    2×atan(4.18333259852033)-π/2
    2×1.33615560151167-π/2
    2.67231120302334-1.57079632675     		φ = 1.10151488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27985562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.034546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10151488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.112154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29849 KachelY 17841 -0.27985562 1.10151488 -16.034546 63.112154
    Oben rechts KachelX + 1 29850 KachelY 17841 -0.27975975 1.10151488 -16.029053 63.112154
    Unten links KachelX 29849 KachelY + 1 17842 -0.27985562 1.10147152 -16.034546 63.109669
    Unten rechts KachelX + 1 29850 KachelY + 1 17842 -0.27975975 1.10147152 -16.029053 63.109669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10151488-1.10147152) × R
    4.33600000000478e-05 × 6371000     		dl = 276.246560000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10151488-1.10147152) × R
    4.33600000000478e-05 × 6371000     		dr = 276.246560000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27985562--0.27975975) × cos(1.10151488) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.45224552926632 × 6371000     		do = 276.226038313199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27985562--0.27975975) × cos(1.10147152) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.452284201342508 × 6371000     		du = 276.249658744376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10151488)-sin(1.10147152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45224552926632-0.452284201342508)×R²
    abs(-0.27975975--0.27985562)×3.86720761884063e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.86720761884063e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.86720761884063e-05×40589641000000     		ar = 76309.7554101731m²