Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29849 / 17831
↖ ↑ ↗
← N 63.136986°
W 16.034546°		 ← 275.99 m → N 63.136986°
W 16.029053°		 →
↑
276.06 m
↓
↑
276.06 m
↓
N 63.134503°
W 16.034546°		 ← 276.01 m →
76 192 m²		 N 63.134503°
W 16.029053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455467224121094 y=0.272087097167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455467224121094 × 216)
    floor (0.455467224121094 × 65536)
    floor (29849.5)     		tx = 29849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272087097167969 × 216)
    floor (0.272087097167969 × 65536)
    floor (17831.5)     		ty = 17831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29849 / 17831 ti = "16/29849/17831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29849/17831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29849 ÷ 216
    29849 ÷ 65536     		x = 0.455459594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17831 ÷ 216
    17831 ÷ 65536     		y = 0.272079467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455459594726562 × 2 - 1) × π
    -0.089080810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27985562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272079467773438 × 2 - 1) × π
    0.455841064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43206693924956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27985562} λ = -0.27985562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43206693924956))-π/2
    2×atan(4.18734524164673)-π/2
    2×1.33637230132953-π/2
    2.67274460265907-1.57079632675     		φ = 1.10194828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27985562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.034546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10194828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.136986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29849 KachelY 17831 -0.27985562 1.10194828 -16.034546 63.136986
    Oben rechts KachelX + 1 29850 KachelY 17831 -0.27975975 1.10194828 -16.029053 63.136986
    Unten links KachelX 29849 KachelY + 1 17832 -0.27985562 1.10190495 -16.034546 63.134503
    Unten rechts KachelX + 1 29850 KachelY + 1 17832 -0.27975975 1.10190495 -16.029053 63.134503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10194828-1.10190495) × R
    4.33300000000081e-05 × 6371000     		dl = 276.055430000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10194828-1.10190495) × R
    4.33300000000081e-05 × 6371000     		dr = 276.055430000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27985562--0.27975975) × cos(1.10194828) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.451858940169907 × 6371000     		do = 275.989914421095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27985562--0.27975975) × cos(1.10190495) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.451897593979431 × 6371000     		du = 276.013523695216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10194828)-sin(1.10190495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451858940169907-0.451897593979431)×R²
    abs(-0.27975975--0.27985562)×3.86538095242805e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.86538095242805e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.86538095242805e-05×40589641000000     		ar = 76191.7732473176m²