Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29848 / 29687
↖ ↑ ↗
← S 81.077892°
E147.919922°		 ← 189.46 m → S 81.077892°
E147.930908°		 →
↑
189.47 m
↓
↑
189.47 m
↓
S 81.079596°
E147.919922°		 ← 189.42 m →
35 894 m²		 S 81.079596°
E147.930908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910903930664062 y=0.905990600585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910903930664062 × 215)
    floor (0.910903930664062 × 32768)
    floor (29848.5)     		tx = 29848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905990600585938 × 215)
    floor (0.905990600585938 × 32768)
    floor (29687.5)     		ty = 29687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29848 / 29687 ti = "15/29848/29687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29848/29687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29848 ÷ 215
    29848 ÷ 32768     		x = 0.910888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29687 ÷ 215
    29687 ÷ 32768     		y = 0.905975341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910888671875 × 2 - 1) × π
    0.82177734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58168967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905975341796875 × 2 - 1) × π
    -0.81195068359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.55081830258243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58168967} λ = 2.58168967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55081830258243))-π/2
    2×atan(0.0780177977075829)-π/2
    2×0.0778600809940403-π/2
    0.155720161988081-1.57079632675     		φ = -1.41507616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58168967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41507616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.077892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29848 KachelY 29687 2.58168967 -1.41507616 147.919922 -81.077892
    Oben rechts KachelX + 1 29849 KachelY 29687 2.58188141 -1.41507616 147.930908 -81.077892
    Unten links KachelX 29848 KachelY + 1 29688 2.58168967 -1.41510590 147.919922 -81.079596
    Unten rechts KachelX + 1 29849 KachelY + 1 29688 2.58188141 -1.41510590 147.930908 -81.079596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41507616--1.41510590) × R
    2.97400000000003e-05 × 6371000     		dl = 189.473540000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41507616--1.41510590) × R
    2.97400000000003e-05 × 6371000     		dr = 189.473540000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58168967-2.58188141) × cos(-1.41507616) × R
    0.000191739999999996 × 0.155091592293215 × 6371000     		do = 189.45609560504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58168967-2.58188141) × cos(-1.41510590) × R
    0.000191739999999996 × 0.155062212075803 × 6371000     		du = 189.420205450089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41507616)-sin(-1.41510590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155091592293215-0.155062212075803)×R²
    abs(2.58188141-2.58168967)×2.93802174121949e-05×R²
    0.000191739999999996×2.93802174121949e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.93802174121949e-05×40589641000000     		ar = 35893.5169936778m²