Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29848 / 29671
↖ ↑ ↗
← S 81.050589°
E147.919922°		 ← 190.03 m → S 81.050589°
E147.930908°		 →
↑
189.98 m
↓
↑
189.98 m
↓
S 81.052297°
E147.919922°		 ← 190 m →
36 099 m²		 S 81.052297°
E147.930908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910903930664062 y=0.905502319335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910903930664062 × 215)
    floor (0.910903930664062 × 32768)
    floor (29848.5)     		tx = 29848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905502319335938 × 215)
    floor (0.905502319335938 × 32768)
    floor (29671.5)     		ty = 29671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29848 / 29671 ti = "15/29848/29671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29848/29671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29848 ÷ 215
    29848 ÷ 32768     		x = 0.910888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29671 ÷ 215
    29671 ÷ 32768     		y = 0.905487060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910888671875 × 2 - 1) × π
    0.82177734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58168967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.905487060546875 × 2 - 1) × π
    -0.81097412109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54775034100674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58168967} λ = 2.58168967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54775034100674))-π/2
    2×atan(0.0782575208558424)-π/2
    2×0.0780983493949426-π/2
    0.156196698789885-1.57079632675     		φ = -1.41459963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58168967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41459963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.050589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29848 KachelY 29671 2.58168967 -1.41459963 147.919922 -81.050589
    Oben rechts KachelX + 1 29849 KachelY 29671 2.58188141 -1.41459963 147.930908 -81.050589
    Unten links KachelX 29848 KachelY + 1 29672 2.58168967 -1.41462945 147.919922 -81.052297
    Unten rechts KachelX + 1 29849 KachelY + 1 29672 2.58188141 -1.41462945 147.930908 -81.052297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41459963--1.41462945) × R
    2.98199999999582e-05 × 6371000     		dl = 189.983219999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41459963--1.41462945) × R
    2.98199999999582e-05 × 6371000     		dr = 189.983219999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58168967-2.58188141) × cos(-1.41459963) × R
    0.000191739999999996 × 0.155562338698576 × 6371000     		do = 190.031147899372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58168967-2.58188141) × cos(-1.41462945) × R
    0.000191739999999996 × 0.155532881655793 × 6371000     		du = 189.995163896428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41459963)-sin(-1.41462945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155562338698576-0.155532881655793)×R²
    abs(2.58188141-2.58168967)×2.94570427829821e-05×R²
    0.000191739999999996×2.94570427829821e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.94570427829821e-05×40589641000000     		ar = 36099.3112019042m²