Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29848 / 13736
↖ ↑ ↗
← N 71.677483°
W 16.040039°		 ← 192.01 m → N 71.677483°
W 16.034546°		 →
↑
192.09 m
↓
↑
192.09 m
↓
N 71.675756°
W 16.040039°		 ← 192.03 m →
36 884 m²		 N 71.675756°
W 16.034546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455451965332031 y=0.209602355957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455451965332031 × 216)
    floor (0.455451965332031 × 65536)
    floor (29848.5)     		tx = 29848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209602355957031 × 216)
    floor (0.209602355957031 × 65536)
    floor (13736.5)     		ty = 13736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29848 / 13736 ti = "16/29848/13736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29848/13736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29848 ÷ 216
    29848 ÷ 65536     		x = 0.4554443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13736 ÷ 216
    13736 ÷ 65536     		y = 0.2095947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4554443359375 × 2 - 1) × π
    -0.089111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27995149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2095947265625 × 2 - 1) × π
    0.580810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82467014713782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27995149} λ = -0.27995149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82467014713782))-π/2
    2×atan(6.20074934681826)-π/2
    2×1.41090220106459-π/2
    2.82180440212919-1.57079632675     		φ = 1.25100808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27995149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.040039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25100808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.677483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29848 KachelY 13736 -0.27995149 1.25100808 -16.040039 71.677483
    Oben rechts KachelX + 1 29849 KachelY 13736 -0.27985562 1.25100808 -16.034546 71.677483
    Unten links KachelX 29848 KachelY + 1 13737 -0.27995149 1.25097793 -16.040039 71.675756
    Unten rechts KachelX + 1 29849 KachelY + 1 13737 -0.27985562 1.25097793 -16.034546 71.675756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25100808-1.25097793) × R
    3.01500000001731e-05 × 6371000     		dl = 192.085650001103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25100808-1.25097793) × R
    3.01500000001731e-05 × 6371000     		dr = 192.085650001103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27995149--0.27985562) × cos(1.25100808) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.314365549922952 × 6371000     		do = 192.010633202259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27995149--0.27985562) × cos(1.25097793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.314394171235585 × 6371000     		du = 192.028114749977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25100808)-sin(1.25097793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314365549922952-0.314394171235585)×R²
    abs(-0.27985562--0.27995149)×2.86213126325374e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.86213126325374e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.86213126325374e-05×40589641000000     		ar = 36884.1662656721m²