Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29847 / 29706
↖ ↑ ↗
← S 81.110208°
E147.908936°		 ← 188.79 m → S 81.110208°
E147.919922°		 →
↑
188.77 m
↓
↑
188.77 m
↓
S 81.111905°
E147.908936°		 ← 188.75 m →
35 634 m²		 S 81.111905°
E147.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910873413085938 y=0.906570434570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910873413085938 × 215)
    floor (0.910873413085938 × 32768)
    floor (29847.5)     		tx = 29847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906570434570312 × 215)
    floor (0.906570434570312 × 32768)
    floor (29706.5)     		ty = 29706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29847 / 29706 ti = "15/29847/29706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29847/29706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29847 ÷ 215
    29847 ÷ 32768     		x = 0.910858154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29706 ÷ 215
    29706 ÷ 32768     		y = 0.90655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910858154296875 × 2 - 1) × π
    0.82171630859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58149792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90655517578125 × 2 - 1) × π
    -0.8131103515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.55446150695355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58149792} λ = 2.58149792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55446150695355))-π/2
    2×atan(0.077734080060449)-π/2
    2×0.0775780736280684-π/2
    0.155156147256137-1.57079632675     		φ = -1.41564018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58149792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.908936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41564018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.110208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29847 KachelY 29706 2.58149792 -1.41564018 147.908936 -81.110208
    Oben rechts KachelX + 1 29848 KachelY 29706 2.58168967 -1.41564018 147.919922 -81.110208
    Unten links KachelX 29847 KachelY + 1 29707 2.58149792 -1.41566981 147.908936 -81.111905
    Unten rechts KachelX + 1 29848 KachelY + 1 29707 2.58168967 -1.41566981 147.919922 -81.111905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41564018--1.41566981) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dl = 188.772730000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41564018--1.41566981) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dr = 188.772730000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58149792-2.58168967) × cos(-1.41564018) × R
    0.000191749999999935 × 0.154534372242334 × 6371000     		do = 188.785254605281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58149792-2.58168967) × cos(-1.41566981) × R
    0.000191749999999935 × 0.154505098107462 × 6371000     		du = 188.749492173112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41564018)-sin(-1.41566981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154534372242334-0.154505098107462)×R²
    abs(2.58168967-2.58149792)×2.92741348718595e-05×R²
    0.000191749999999935×2.92741348718595e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.92741348718595e-05×40589641000000     		ar = 35634.1324120234m²