Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29847 / 29648
↖ ↑ ↗
← S 81.011194°
E147.908936°		 ← 190.87 m → S 81.011194°
E147.919922°		 →
↑
190.88 m
↓
↑
190.88 m
↓
S 81.012911°
E147.908936°		 ← 190.83 m →
36 429 m²		 S 81.012911°
E147.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910873413085938 y=0.904800415039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910873413085938 × 215)
    floor (0.910873413085938 × 32768)
    floor (29847.5)     		tx = 29847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904800415039062 × 215)
    floor (0.904800415039062 × 32768)
    floor (29648.5)     		ty = 29648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29847 / 29648 ti = "15/29847/29648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29847/29648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29847 ÷ 215
    29847 ÷ 32768     		x = 0.910858154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29648 ÷ 215
    29648 ÷ 32768     		y = 0.90478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910858154296875 × 2 - 1) × π
    0.82171630859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58149792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90478515625 × 2 - 1) × π
    -0.8095703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.5433401462417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58149792} λ = 2.58149792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5433401462417))-π/2
    2×atan(0.0786034139319334)-π/2
    2×0.0784421277706298-π/2
    0.15688425554126-1.57079632675     		φ = -1.41391207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58149792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.908936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41391207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.011194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29847 KachelY 29648 2.58149792 -1.41391207 147.908936 -81.011194
    Oben rechts KachelX + 1 29848 KachelY 29648 2.58168967 -1.41391207 147.919922 -81.011194
    Unten links KachelX 29847 KachelY + 1 29649 2.58149792 -1.41394203 147.908936 -81.012911
    Unten rechts KachelX + 1 29848 KachelY + 1 29649 2.58168967 -1.41394203 147.919922 -81.012911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41391207--1.41394203) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dl = 190.875159999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41391207--1.41394203) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dr = 190.875159999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58149792-2.58168967) × cos(-1.41391207) × R
    0.000191749999999935 × 0.156241491572525 × 6371000     		do = 190.870738583476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58149792-2.58168967) × cos(-1.41394203) × R
    0.000191749999999935 × 0.156211899444605 × 6371000     		du = 190.834587678519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41391207)-sin(-1.41394203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156241491572525-0.156211899444605)×R²
    abs(2.58168967-2.58149792)×2.95921279194478e-05×R²
    0.000191749999999935×2.95921279194478e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.95921279194478e-05×40589641000000     		ar = 36429.0326144519m²