Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29847 / 17766
↖ ↑ ↗
← N 63.297876°
W 16.045532°		 ← 274.49 m → N 63.297876°
W 16.040039°		 →
↑
274.46 m
↓
↑
274.46 m
↓
N 63.295408°
W 16.045532°		 ← 274.51 m →
75 340 m²		 N 63.295408°
W 16.040039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455436706542969 y=0.271095275878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455436706542969 × 216)
    floor (0.455436706542969 × 65536)
    floor (29847.5)     		tx = 29847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271095275878906 × 216)
    floor (0.271095275878906 × 65536)
    floor (17766.5)     		ty = 17766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29847 / 17766 ti = "16/29847/17766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29847/17766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29847 ÷ 216
    29847 ÷ 65536     		x = 0.455429077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17766 ÷ 216
    17766 ÷ 65536     		y = 0.271087646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455429077148438 × 2 - 1) × π
    -0.089141845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28004737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271087646484375 × 2 - 1) × π
    0.45782470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43829873620016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28004737} λ = -0.28004737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43829873620016))-π/2
    2×atan(4.21352140450751)-π/2
    2×1.33777633970543-π/2
    2.67555267941085-1.57079632675     		φ = 1.10475635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28004737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.045532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10475635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.297876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29847 KachelY 17766 -0.28004737 1.10475635 -16.045532 63.297876
    Oben rechts KachelX + 1 29848 KachelY 17766 -0.27995149 1.10475635 -16.040039 63.297876
    Unten links KachelX 29847 KachelY + 1 17767 -0.28004737 1.10471327 -16.045532 63.295408
    Unten rechts KachelX + 1 29848 KachelY + 1 17767 -0.27995149 1.10471327 -16.040039 63.295408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10475635-1.10471327) × R
    4.30799999999731e-05 × 6371000     		dl = 274.462679999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10475635-1.10471327) × R
    4.30799999999731e-05 × 6371000     		dr = 274.462679999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28004737--0.27995149) × cos(1.10475635) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.449352112468876 × 6371000     		do = 274.487402942718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28004737--0.27995149) × cos(1.10471327) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.44939059777379 × 6371000     		du = 274.510911748183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10475635)-sin(1.10471327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449352112468876-0.44939059777379)×R²
    abs(-0.27995149--0.28004737)×3.84853049135714e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.84853049135714e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.84853049135714e-05×40589641000000     		ar = 75339.7743941456m²