Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29846 / 17770
↖ ↑ ↗
← N 63.288001°
W 16.051025°		 ← 274.55 m → N 63.288001°
W 16.045532°		 →
↑
274.59 m
↓
↑
274.59 m
↓
N 63.285532°
W 16.051025°		 ← 274.58 m →
75 393 m²		 N 63.285532°
W 16.045532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455421447753906 y=0.271156311035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455421447753906 × 216)
    floor (0.455421447753906 × 65536)
    floor (29846.5)     		tx = 29846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271156311035156 × 216)
    floor (0.271156311035156 × 65536)
    floor (17770.5)     		ty = 17770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29846 / 17770 ti = "16/29846/17770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29846/17770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29846 ÷ 216
    29846 ÷ 65536     		x = 0.455413818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17770 ÷ 216
    17770 ÷ 65536     		y = 0.271148681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455413818359375 × 2 - 1) × π
    -0.08917236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28014324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271148681640625 × 2 - 1) × π
    0.45770263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.4379152410032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28014324} λ = -0.28014324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4379152410032))-π/2
    2×atan(4.21190584908527)-π/2
    2×1.33769016275671-π/2
    2.67538032551343-1.57079632675     		φ = 1.10458400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28014324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.051025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10458400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.288001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29846 KachelY 17770 -0.28014324 1.10458400 -16.051025 63.288001
    Oben rechts KachelX + 1 29847 KachelY 17770 -0.28004737 1.10458400 -16.045532 63.288001
    Unten links KachelX 29846 KachelY + 1 17771 -0.28014324 1.10454090 -16.051025 63.285532
    Unten rechts KachelX + 1 29847 KachelY + 1 17771 -0.28004737 1.10454090 -16.045532 63.285532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10458400-1.10454090) × R
    4.31000000000736e-05 × 6371000     		dl = 274.590100000469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10458400-1.10454090) × R
    4.31000000000736e-05 × 6371000     		dr = 274.590100000469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28014324--0.28004737) × cos(1.10458400) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449506075482456 × 6371000     		do = 274.552813445375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28014324--0.28004737) × cos(1.10454090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449544575315447 × 6371000     		du = 274.576328672513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10458400)-sin(1.10454090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449506075482456-0.449544575315447)×R²
    abs(-0.28004737--0.28014324)×3.84998329906461e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84998329906461e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84998329906461e-05×40589641000000     		ar = 75392.7130351196m²