Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29844 / 17769
↖ ↑ ↗
← N 63.290470°
W 16.062012°		 ← 274.53 m → N 63.290470°
W 16.056519°		 →
↑
274.53 m
↓
↑
274.53 m
↓
N 63.288001°
W 16.062012°		 ← 274.55 m →
75 369 m²		 N 63.288001°
W 16.056519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455390930175781 y=0.271141052246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455390930175781 × 216)
    floor (0.455390930175781 × 65536)
    floor (29844.5)     		tx = 29844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271141052246094 × 216)
    floor (0.271141052246094 × 65536)
    floor (17769.5)     		ty = 17769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29844 / 17769 ti = "16/29844/17769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29844/17769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29844 ÷ 216
    29844 ÷ 65536     		x = 0.45538330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17769 ÷ 216
    17769 ÷ 65536     		y = 0.271133422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45538330078125 × 2 - 1) × π
    -0.0892333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28033499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271133422851562 × 2 - 1) × π
    0.457733154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43801111480244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28033499} λ = -0.28033499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43801111480244))-π/2
    2×atan(4.21230967985915)-π/2
    2×1.3377117097617-π/2
    2.67542341952341-1.57079632675     		φ = 1.10462709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28033499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.062012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10462709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.290470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29844 KachelY 17769 -0.28033499 1.10462709 -16.062012 63.290470
    Oben rechts KachelX + 1 29845 KachelY 17769 -0.28023912 1.10462709 -16.056519 63.290470
    Unten links KachelX 29844 KachelY + 1 17770 -0.28033499 1.10458400 -16.062012 63.288001
    Unten rechts KachelX + 1 29845 KachelY + 1 17770 -0.28023912 1.10458400 -16.056519 63.288001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10462709-1.10458400) × R
    4.30899999999124e-05 × 6371000     		dl = 274.526389999442m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10462709-1.10458400) × R
    4.30899999999124e-05 × 6371000     		dr = 274.526389999442m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28033499--0.28023912) × cos(1.10462709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449467583747425 × 6371000     		do = 274.529303164372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28033499--0.28023912) × cos(1.10458400) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449506075482456 × 6371000     		du = 274.552813445375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10462709)-sin(1.10458400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449467583747425-0.449506075482456)×R²
    abs(-0.28023912--0.28033499)×3.84917350310654e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84917350310654e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84917350310654e-05×40589641000000     		ar = 75368.7656547m²