Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29842 / 15234
↖ ↑ ↗
← N 68.907052°
W 16.072998°		 ← 219.83 m → N 68.907052°
W 16.067505°		 →
↑
219.86 m
↓
↑
219.86 m
↓
N 68.905074°
W 16.072998°		 ← 219.85 m →
48 336 m²		 N 68.905074°
W 16.067505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455360412597656 y=0.232460021972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455360412597656 × 216)
    floor (0.455360412597656 × 65536)
    floor (29842.5)     		tx = 29842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232460021972656 × 216)
    floor (0.232460021972656 × 65536)
    floor (15234.5)     		ty = 15234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29842 / 15234 ti = "16/29842/15234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29842/15234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29842 ÷ 216
    29842 ÷ 65536     		x = 0.455352783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15234 ÷ 216
    15234 ÷ 65536     		y = 0.232452392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455352783203125 × 2 - 1) × π
    -0.08929443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28052674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232452392578125 × 2 - 1) × π
    0.53509521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68105119587613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28052674} λ = -0.28052674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68105119587613))-π/2
    2×atan(5.37119918697492)-π/2
    2×1.38672562592857-π/2
    2.77345125185714-1.57079632675     		φ = 1.20265493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28052674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.072998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20265493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.907052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29842 KachelY 15234 -0.28052674 1.20265493 -16.072998 68.907052
    Oben rechts KachelX + 1 29843 KachelY 15234 -0.28043086 1.20265493 -16.067505 68.907052
    Unten links KachelX 29842 KachelY + 1 15235 -0.28052674 1.20262042 -16.072998 68.905074
    Unten rechts KachelX + 1 29843 KachelY + 1 15235 -0.28043086 1.20262042 -16.067505 68.905074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20265493-1.20262042) × R
    3.45100000000986e-05 × 6371000     		dl = 219.863210000628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20265493-1.20262042) × R
    3.45100000000986e-05 × 6371000     		dr = 219.863210000628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28052674--0.28043086) × cos(1.20265493) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.359881981786804 × 6371000     		do = 219.834441199786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28052674--0.28043086) × cos(1.20262042) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.359914179327768 × 6371000     		du = 219.854109115335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20265493)-sin(1.20262042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359881981786804-0.359914179327768)×R²
    abs(-0.28043086--0.28052674)×3.21975409634523e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.21975409634523e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.21975409634523e-05×40589641000000     		ar = 48335.6680410254m²