Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29841 / 15233
↖ ↑ ↗
← N 68.909028°
W 16.078491°		 ← 219.79 m → N 68.909028°
W 16.072998°		 →
↑
219.80 m
↓
↑
219.80 m
↓
N 68.907052°
W 16.078491°		 ← 219.81 m →
48 312 m²		 N 68.907052°
W 16.072998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455345153808594 y=0.232444763183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455345153808594 × 216)
    floor (0.455345153808594 × 65536)
    floor (29841.5)     		tx = 29841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232444763183594 × 216)
    floor (0.232444763183594 × 65536)
    floor (15233.5)     		ty = 15233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29841 / 15233 ti = "16/29841/15233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29841/15233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29841 ÷ 216
    29841 ÷ 65536     		x = 0.455337524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15233 ÷ 216
    15233 ÷ 65536     		y = 0.232437133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455337524414062 × 2 - 1) × π
    -0.089324951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28062261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232437133789062 × 2 - 1) × π
    0.535125732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68114706967537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28062261} λ = -0.28062261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68114706967537))-π/2
    2×atan(5.3717141689337)-π/2
    2×1.38674287678367-π/2
    2.77348575356733-1.57079632675     		φ = 1.20268943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28062261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.078491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20268943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.909028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29841 KachelY 15233 -0.28062261 1.20268943 -16.078491 68.909028
    Oben rechts KachelX + 1 29842 KachelY 15233 -0.28052674 1.20268943 -16.072998 68.909028
    Unten links KachelX 29841 KachelY + 1 15234 -0.28062261 1.20265493 -16.078491 68.907052
    Unten rechts KachelX + 1 29842 KachelY + 1 15234 -0.28052674 1.20265493 -16.072998 68.907052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20268943-1.20265493) × R
    3.44999999999374e-05 × 6371000     		dl = 219.799499999601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20268943-1.20265493) × R
    3.44999999999374e-05 × 6371000     		dr = 219.799499999601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28062261--0.28052674) × cos(1.20268943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359849793147346 × 6371000     		do = 219.791852691424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28062261--0.28052674) × cos(1.20265493) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359881981786804 × 6371000     		du = 219.811513118738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20268943)-sin(1.20265493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359849793147346-0.359881981786804)×R²
    abs(-0.28052674--0.28062261)×3.21886394586413e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.21886394586413e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.21886394586413e-05×40589641000000     		ar = 48312.3000063158m²