Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29840 / 17808
↖ ↑ ↗
← N 63.194018°
W 16.083984°		 ← 275.45 m → N 63.194018°
W 16.078491°		 →
↑
275.48 m
↓
↑
275.48 m
↓
N 63.191541°
W 16.083984°		 ← 275.47 m →
75 884 m²		 N 63.191541°
W 16.078491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455329895019531 y=0.271736145019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455329895019531 × 216)
    floor (0.455329895019531 × 65536)
    floor (29840.5)     		tx = 29840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271736145019531 × 216)
    floor (0.271736145019531 × 65536)
    floor (17808.5)     		ty = 17808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29840 / 17808 ti = "16/29840/17808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29840/17808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29840 ÷ 216
    29840 ÷ 65536     		x = 0.455322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17808 ÷ 216
    17808 ÷ 65536     		y = 0.271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455322265625 × 2 - 1) × π
    -0.08935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28071848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271728515625 × 2 - 1) × π
    0.45654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43427203663208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28071848} λ = -0.28071848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43427203663208))-π/2
    2×atan(4.19658893355363)-π/2
    2×1.33687000804352-π/2
    2.67374001608705-1.57079632675     		φ = 1.10294369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28071848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.083984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10294369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.194018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29840 KachelY 17808 -0.28071848 1.10294369 -16.083984 63.194018
    Oben rechts KachelX + 1 29841 KachelY 17808 -0.28062261 1.10294369 -16.078491 63.194018
    Unten links KachelX 29840 KachelY + 1 17809 -0.28071848 1.10290045 -16.083984 63.191541
    Unten rechts KachelX + 1 29841 KachelY + 1 17809 -0.28062261 1.10290045 -16.078491 63.191541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10294369-1.10290045) × R
    4.3240000000111e-05 × 6371000     		dl = 275.482040000707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10294369-1.10290045) × R
    4.3240000000111e-05 × 6371000     		dr = 275.482040000707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28071848--0.28062261) × cos(1.10294369) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450970721746385 × 6371000     		do = 275.447401470759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28071848--0.28062261) × cos(1.10290045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.45100931470004 × 6371000     		du = 275.47097357486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10294369)-sin(1.10290045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450970721746385-0.45100931470004)×R²
    abs(-0.28062261--0.28071848)×3.85929536549923e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85929536549923e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85929536549923e-05×40589641000000     		ar = 75884.0589276289m²