Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29839 / 29343
↖ ↑ ↗
← S 80.472247°
E147.821045°		 ← 202.21 m → S 80.472247°
E147.832032°		 →
↑
202.15 m
↓
↑
202.15 m
↓
S 80.474065°
E147.821045°		 ← 202.17 m →
40 874 m²		 S 80.474065°
E147.832032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910629272460938 y=0.895492553710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910629272460938 × 215)
    floor (0.910629272460938 × 32768)
    floor (29839.5)     		tx = 29839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895492553710938 × 215)
    floor (0.895492553710938 × 32768)
    floor (29343.5)     		ty = 29343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29839 / 29343 ti = "15/29839/29343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29839/29343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29839 ÷ 215
    29839 ÷ 32768     		x = 0.910614013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29343 ÷ 215
    29343 ÷ 32768     		y = 0.895477294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910614013671875 × 2 - 1) × π
    0.82122802734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57996394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.895477294921875 × 2 - 1) × π
    -0.79095458984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.48485712870523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57996394} λ = 2.57996394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48485712870523))-π/2
    2×atan(0.0833374601924132)-π/2
    2×0.0831453302850242-π/2
    0.166290660570048-1.57079632675     		φ = -1.40450567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57996394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.821045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40450567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.472247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29839 KachelY 29343 2.57996394 -1.40450567 147.821045 -80.472247
    Oben rechts KachelX + 1 29840 KachelY 29343 2.58015569 -1.40450567 147.832032 -80.472247
    Unten links KachelX 29839 KachelY + 1 29344 2.57996394 -1.40453740 147.821045 -80.474065
    Unten rechts KachelX + 1 29840 KachelY + 1 29344 2.58015569 -1.40453740 147.832032 -80.474065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40450567--1.40453740) × R
    3.17299999998966e-05 × 6371000     		dl = 202.151829999341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40450567--1.40453740) × R
    3.17299999998966e-05 × 6371000     		dr = 202.151829999341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57996394-2.58015569) × cos(-1.40450567) × R
    0.000191749999999935 × 0.165525321384624 × 6371000     		do = 202.212229472253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57996394-2.58015569) × cos(-1.40453740) × R
    0.000191749999999935 × 0.165494028999507 × 6371000     		du = 202.174001466367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40450567)-sin(-1.40453740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165525321384624-0.165494028999507)×R²
    abs(2.58015569-2.57996394)×3.1292385117454e-05×R²
    0.000191749999999935×3.1292385117454e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.1292385117454e-05×40589641000000     		ar = 40873.7083088619m²